[論文レビュー] On the classical and quantum momentum map

Chiara Esposito|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、ポアソン幾何における一般化された運動量写像理論を展開し、無限小運動量写像を導入し、それを完全な運動量写像に再構成するための条件を証明する。古典的ポアソン還元を変形量子化を用いて量子的設定へ拡張し、量子運動量写像を定義することで、量子作用の因数分解を可能にし、量子還元を実現する。SU(2)の作用が変形量子化された多様体上に及ぼされる例を通じて具体化される。

ABSTRACT

In this thesis we study the classical and quantum momentum maps and the theory of reduction. We focus on the notion of momentum map in Poisson geometry and we discuss the classification of the momentum map in this framework. Furthermore, we describe the so-called Poisson Reduction, a technique that allows us to reduce the dimension of a manifold in presence of symmetries implemented by Poisson actions.

研究の動機と目的

• ポアソン幾何における古典的運動量写像を、特にLuのポアソン-リー群作用の枠組みに拡張すること。
• 無限小運動量写像が一意的に完全な運動量写像を決定する条件を明確化すること。
• Luの運動量写像と Weinstein のポアソン多様体の局所正規形に基づくポアソン還元理論を構築すること。
• 量子群作用と整合性を持つように、古典的運動量写像の変形として量子運動量写像を定義すること。
• 変形量子化を用いた量子還元手順を確立し、Uℏ(su(2)) の作用などの例に応用すること。

提案手法

• ポアソン多様体上のリー代数作用から導かれる弱い構造として、無限小運動量写像を導入する。
• ポアソン作用の生成子を記述するために、Weinstein のポアソン多様体の局所正規形を用いる。
• 変形量子化技術を適用し、量子作用の因数分解を可能にする量子運動量写像へ古典的運動量写像を上昇させる。
• 変形量子化代数における不変イデアル（例：C∞ℏ(M) における H で生成されるイデアル）を考察することで、量子還元を構成する。
• シンプレクティック群体とシンプレクティゼーション関手を用いて、ポアソン作用を運動量写像が正しく定義されるハミルトニアン作用へ上昇させる。
• 変形量子化と幾何的量子化を比較し、特に Gelfand-Cetlin 系のような可積分系の文脈で検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン幾何において、無限小運動量写像が古典的運動量写像を一意的に決定する条件は何か？
• RQ2 Lu の運動量写像とポアソン多様体の局所構造を用いて、ポアソン還元を体系的に構成する方法は何か？
• RQ3 量子還元の正しい定義とは何か？また、変形量子化を介して古典的還元とどのように関係するか？
• RQ4 量子運動量写像は、古典的運動量写像の変形として一貫して定義可能であり、量子作用の因数分解を保存するか？
• RQ5 ポアソン-リー群作用や可積分系の文脈において、変形量子化と幾何的量子化の異なる量子化スキームは、どのように比較できるか？

主な発見

• 無限小運動量写像が完全な運動量写像を決定するのは、コhomological障害が消える場合に限る。このことは、2つの具体例で明示的に示された。
• Poisson還元空間 μ−1(x)/Gx は、Ox をドレッシング軌道として、μ−1(Ox)/G としてPoisson多様体として同型である。これにより、商に自然なPoisson構造が定まる。
• 量子運動量写像は、量子作用を因数分解するように構成されており、古典的対称性と量子的対称性の整合性が保証される。
• C∞ℏ(M) 上の Uℏ(su(2)) 行動に対して、H で生成されるイデアル I は Uℏ(su(2))-不変であり、商 (C∞ℏ(M)/I)^Uℏ(su(2)) は、Poisson還元 M//SU(2) の変形量子化である。
• シンプレクティゼーション関手により、ポアソン作用がシンプレクティック群体上のハミルトニアン作用へ上昇され、古典的には存在しない場合でも運動量写像の構成が可能になる。
• Gelfand-Cetlin 系の幾何的量子化は表現論的結果をもたらし、幾何的量子化と変形量子化をポアソン-リー群の文脈で比較する道筋を示唆する。