[論文レビュー] On the classical geometry of embedded manifolds in terms of Nambu brackets

Joakim Arnlind, Jens Hoppe+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、埋め込まれたリーマン多様体の主要な幾何的不変量——リッチ曲率、ウェイングルテンの公式、およびコダッチ＝マイナール方程式——が、滑らかな関数上の多元線形代数的構造であるナムブ括弧を用いて完全に記述可能であることを示している。中心的貢献は、ポアソン括弧およびナムブ括弧の恒等式を用いたコダッチ＝マイナール方程式の導出であり、これはℝ³内の曲面において、これらの方程式がポアソン代数枠組み内での代数的恒等式に還元されることを示している。

ABSTRACT

We prove that many aspects of the differential geometry of embedded Riemannian manifolds can be formulated in terms of a multi-linear algebraic structure on the space of smooth functions. In particular, we find algebraic expressions for Weingarten's formula, the Ricci curvature and the Codazzi-Mainardi equations.

研究の動機と目的

• 埋め込まれたリーマン多様体の古典的微分幾何学を、滑らかな関数上の代数的構造に再定式化すること。
• リッチ曲率やウェイングルテンの公式といった幾何的量が、ナムブ括弧を介して代数的に表現可能であることを示すこと。
• ポアソン括弧およびナムブ括弧の恒等式を用いて、コダッチ＝マイナール方程式の代数的導出を提供すること。
• 行列正則化における膜理論の枠組みを確立するために、幾何的不変量を交換子およびポアソン括弧の形で表現すること。
• ℝ³内の曲面において、正規ベクトルがナムブ括弧を介して定義されるとき、コダッチ＝マイナール方程式がポアソン代数における恒等式であることを示すこと。

提案手法

• 滑らかな関数上のn次のナムブ括弧 $ \{f_1, \dots, f_n\} = \frac{1}{\sqrt{g}} \varepsilon^{a_1\cdots a_n} \partial_{a_1}f_1 \cdots \partial_{a_n}f_n $ を用いて幾何的データを符号化する。
• ナムブ括弧のヤコビ恒等式およびライブニッツ則を適用し、正規ベクトルおよび埋め込み座標に関する恒等式を導出する。
• ナムブ括弧構造および誘導計量を用いて、正規直交フレームを構成する。
• ナムブ括弧およびその微分を用いて、ウェイングルテンの公式およびリッチ曲率を再表現する。
• ナムブ括弧の式を操作し、恒等式 $ \sum_i \{x^i, n^i\} = 0 $ を用いることで、コダッチ＝マイナール方程式を代数的恒等式として導出する。
• ℝ³内の曲面において、コダッチ＝マイナール方程式が $ \sum_{j,k=1}^3 \big{\{} \gamma^{-2}(\mathcal{P}^2)^{ik}, n^k \big{\}} = 0 $ という消えるナムブ括弧の式に還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 埋め込まれたリーマン多様体のリッチ曲率は、滑らかな関数のナムブ括弧のみを用いて完全に表現可能か？
• RQ2 ウェイングルテンの公式およびコダッチ＝マイナール方程式は、滑らかな関数のポアソン＝ナムブ代数において、どの程度まで代数的恒等式として再定式化可能か？
• RQ3 正規ベクトルが $ \frac{1}{2\gamma} \varepsilon_{ijk} \{x^j, x^k\} \partial_i $ で定義されるとき、ℝ³内の曲面におけるコダッチ＝マイナール方程式は、任意のポアソン代数において恒等式となるか？
• RQ4 ℝ^{n+1}内の超曲面の古典的微分幾何学は、関数代数上のナムブ括弧構造から体系的に再構成可能か？
• RQ5 埋め込み多様体の幾何的量は行列正則化の下でどのように振る舞い、交換子およびポアソン括弧を用いて一貫的に近似可能か？

主な発見

• ℝ³内の曲面のガウス曲率は、代数的に $ K = -\frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^3 \{x^i, n^j\} \{x^j, n^i\} $ で与えられる。ここで $ x^i $ は埋め込み座標、$ n^i $ は単位正規ベクトルの成分である。
• ℝ³内の曲面におけるコダッチ＝マイナール方程式は、ナムブ括弧の恒等式 $ \sum_{j,k=1}^3 \big{\{} \gamma^{-2}(\mathcal{P}^2)^{ik}, n^k \big{\}} = 0 $ に等価であり、これはポアソン代数の恒等式の結果として成り立つ。
• 任意のポアソン代数において、恒等式 $ \sum_{j,k,l,n=1}^3 \frac{1}{2} \varepsilon_{kln} \big{\{} \gamma^{-2} \{x^i,x^j\} \{x^j,x^k\}, \gamma^{-1} \{x^l,x^n\} \big{\}} = 0 $ が成り立つ。これにより、コダッチ＝マイナール方程式が代数的恒等式であることが証明される。
• 古典的コダッチ＝マイナール方程式は、$ \sum_{i,j,k=1}^3 (\partial_c x^i) \big{\{} \gamma^{-2} (\mathcal{P}^2)^{ik}, n^k \big{\}} = \frac{1}{\rho} \varepsilon^{ab} \nabla_a h_{bc} $ を通じて再取得され、代数的括弧と標準的な幾何的表現を結びつける。
• ナムブ括弧の定式化は、ℝ^{n+1}内の超曲面へ一般化可能であり、任意の滑らかな関数に対して $ \varepsilon_{klL} \big{\{} \gamma^{-2} \{x^i,\vec{x}^J\} \{\vec{x}^J,x^k\}, \gamma^{-1} \{x^l,\vec{x}^L\} \big{\}}_f = 0 $ が成り立つ。
• リッチ曲率およびウェイングルテンの公式はナムブ括弧を用いて表現可能であり、これは核心的な幾何的不変量が微分を明示的に用いずに、関数代数の代数的構造から生じることを示している。