[論文レビュー] On the Classical Hardness of Spoofing Linear Cross-Entropy Benchmarking

Scott Aaronson, Sam Gunn|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2019

Advancements in Photolithography Techniques被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、特定の文字列（例：$0^n$）の出力確率をより非自明な精度で推定することは不可能であると仮定する新しい仮定XQUATHのもとで、スプーフィング Linear Cross-Entropy Benchmarking (Linear XEB) が古典的に困難であることを確立している。著者らはXEBスプーフィング問題をXQUATHに還元し、XEBスプーフィングの効率的な古典的アルゴリズムが存在すればXQUATHの解法が得られることを証明した。これにより、スプーフィングの困難さが、サンプリングを伴わない強い仮定に結びつけられた。

ABSTRACT

Recently, Google announced the first demonstration of quantum computational supremacy with a programmable superconducting processor. Their demonstration is based on collecting samples from the output distribution of a noisy random quantum circuit, then applying a statistical test to those samples called Linear Cross-Entropy Benchmarking (Linear XEB). This raises a theoretical question: how hard is it for a classical computer to spoof the results of the Linear XEB test? In this short note, we adapt an analysis of Aaronson and Chen [2017] to prove a conditional hardness result for Linear XEB spoofing. Specifically, we show that the problem is classically hard, assuming that there is no efficient classical algorithm that, given a random n-qubit quantum circuit C, estimates the probability of C outputting a specific output string, say 0^n, with variance even slightly better than that of the trivial estimator that always estimates 1/2^n. Our result automatically encompasses the case of noisy circuits.

研究の動機と目的

• 量子優位性実験の重要なテストであるLinear Cross-Entropy (XEB)ベンチマークのスプーフィングの古典的計算的困難性を確立すること。
• ランダムな量子回路の出力確率を推定する困難さを捉える、サンプリングを伴わない新しい仮定XQUATHを定式化すること。
• XEBスプーフィングがXQUATHを解くのと同程度の困難さであることを示し、XEBスプーフィングの困難さを明確な複雑性理論的仮定に移譲すること。
• ノイズのある量子回路に対しても適用可能な、XEBスプーフィングの条件付きの困難性証明を提供すること。

提案手法

• XQUATHを新しい複雑性仮定として導入：任意の$n$キュービットの量子回路について、固定された文字列（例：$0^n$）の出力確率を、成功確率$>1/2 + \text{poly}(1/2^n)$で推定できる多項式時間の古典的アルゴリズムは存在しない。
• XQUATHからLinear XEBスプーフィング問題への還元を構築し、任意の効率的なXEBスプーフィングアルゴリズムがXQUATHの解法をもたらすことを示した。
• ランダムな文字列$z$と、$z_i = 1$であるキュービットにNOTゲートを適用して得られる変換回路$C'$を用い、回路分布を保存するとともに、$\bra{0^n}C\ket{0^n}$を$\bra{z}C'\ket{0^n}$に結びつけた。
• 二次式$\mathbb{E}[X]$の期待値に基づく確率的議論を用い、XEBが高確率でスプーフィングされれば推定器は自明な手法を上回らなければならないが、これはXQUATHに矛盾することを示した。
• 成功確率$s$とXEB閾値$b$を用いて、XEBスプーフィングに必要なサンプル数$k$の下界を導出した：$k \geq 1/((2s-1)b - 1)(b-1)$。
• 特に$b \approx 2$の場合、XEBを高確率でスプーフィングするには$k = \Omega((b-1)^{-2})$のサンプルが必要であり、ノイズが増加するにつれて急激に増加することが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 妥当な複雑性仮定の下で、Linear XEBのスプーフィングは古典的に困難であるか？
• RQ2 XEBスプーフィングの困難さを、完全なサンプリングを含む仮定ではなく、サンプリングを伴わない仮定に還元できるか？
• RQ3 XQUATH仮定と以前のQUATH仮定との間には、計算的強度や意味的含意においてどのような関係があるか？
• RQ4 XEBスプーフィングに必要なサンプル数は、忠実度閾値$b$と成功確率$s$に対してどのようにスケーリングするか？

主な発見

• XQUATH仮定の下で、成功確率$s > \frac{1}{2} + \frac{1}{2b}$でXEBをスプーフィングすることは古典的に困難である。
• 高確率でXEBをスプーフィングするための古典的アルゴリズムに必要なサンプル数$k$は、$k \geq \frac{1}{((2s-1)b - 1)(b - 1)}$で下界づけられる。
• 特に$b = 1 + \delta$で$s = \frac{1}{2} + \frac{1}{2b} + \epsilon$の場合、必要なサンプル数は約$1/(2\epsilon\delta)$である。
• $s = 1$でさえも、サンプル数は$(b - 1)^{-2}$を超える必要があり、$b \to 1^+$に近づくと非常に大きくなる。これは高ノイズ状態に対応する。
• 還元により、XEBスプーフィングはランダムな量子回路の出力振幅を推定するのと同等の困難さであることが示され、XEBスプーフィングに特別な高速化手法は存在しない。
• XQUATH仮定はノイズモデルに依存しないため、ノイズのある回路に対してもこの結果は成り立ち、デポラライジングノイズやその他の現実的な設定にも適用可能である。