[論文レビュー] On the classical limit of the hyperbolic quantum mechanics

Andrei Yu. Khrennikov|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2004

Algebraic and Geometric Analysis被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、双曲的ヒルベルト空間上での双曲的量子力学—双曲的代数上のヒルベルトモジュールとして定式化されたもの—が、ポisson括弧の変形を通じて通常の古典力学に回復する古典的極限を持つことを確立している。Moyalの変形量力学の双曲的類似を用いて、双曲的Moyal括弧がプランク定数 $ h \to 0 $ のとき標準的ポアソン括弧に収束することを示した。これにより、古典力学が二種類の異なる変形を受け入れること、すなわち複素量子力学によるものと双曲的量子力学によるものとが存在することが明らかになった。それぞれは確率振幅における $ \text{cos} $-および $ \text{cosh} $-干渉に対応する。

ABSTRACT

We demonstrated that classical mechanics have, besides the well known quantum deformation, another deformation -- so called hyperbolic quantum mechanics. The classical Poisson bracket can be obtained as the limit $h o 0$ not only of the ordinary Moyal bracket, but also hyperbolic analogue of the Moyal bracket. Thus there are two different deformations of classical phase-space: complex Hilbert space and hyperbolic Hilbert space (module over a so called hyperbolic algebra -- the two dimensional Clifford algebra). To prove the correspondence principle we use the calculus over the hyperbolic algebra similar to functional superanalysis of Vladimirov-Volovich. Ordinary (complex) and hyperbolic quantum mechanics are characterized by two types of interference perturbation of the classical formula of total probability: ordinary $\cos$-interference and hyperbolic $\cosh$-interference.

研究の動機と目的

• 双曲的ヒルベルト空間に基づく非標準的な古典力学の変形である、双曲的量子力学の古典的極限を調査すること。
• 2次元クリフォード代数である双曲的代数への変形量力学の枠組みを拡張し、双曲的Moyal括弧を定義すること。
• この双曲的変形の古典的極限が標準的ポアソン括弧に収束することを示し、従って通常の古典力学が回復されることを証明すること。
• 確率振幅における双曲的干渉（$ \text{cosh} $-項）の役割とその古典的極限への関係を明確にすること。
• 無限次元位相空間における双曲的代数上での擬微分作用素およびフーリエ変換の数学的基盤を確立すること。

提案手法

• 双曲的代数 $ \bf{G} $ 上での擬微分作用素の計算を構築し、Moyal形式を双曲的ヒルベルトモジュールへ一般化した。
• 符号 $ a(q,p) \to E(Q \times P, \bf{G}) $ に対して、フーリエ変換と超分布とのペアリングを用いて、双曲的Moyal括弧を定義した。
• $ Q $ を反射的局所凸空間とし、$ P = Q^* $ とし、双対ペアリング $ (p,q) $ を持つ無限次元位相空間 $ Q \times P $ を導入した。
• 関数 $ E(Y, \bf{G}) $ の表現として、$ \tilde{v}(y) = \text{Re} \big[ \tilde{v}(dy) \big] $ を用いたフーリエ変換により、振動積分を介した作用素の定義が可能になった。
• 記号空間における畳み込みを用いて作用素積を構成した：$ a = a_1 * a_2 $、ここで位相因子 $ e^{j h^{-1} (p_2, q_1)} $ を含む。
• 双曲的Moyal括弧 $ \tilde{\bullet}_*(h) $ が $ h \to 0 $ のとき標準的ポアソン括弧 $ \tilde{\bullet} $ に収束することを証明した。これにより、古典的極限が確立された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的量子力学の古典的極限は、変形量力学を用いて厳密に定義可能か？
• RQ2 双曲的Moyal括弧は $ h \to 0 $ の極限で標準的ポアソン括弧に収束するか？
• RQ3 古典的位相空間の双曲的変形は、標準的複素量子力学の変形とどのように比較できるか？
• RQ4 双曲的量子形式主義における全確率公式における $ \text{cosh} $-干渉の役割は何か？
• RQ5 超擬微分作用素の枠組みは双曲的超代数へ拡張可能か？また、それによりポアソン括弧の整合的な変形が得られるか？

主な発見

• 双曲的量子力学の古典的極限は、$ h \to 0 $ の極限において双曲的Moyal括弧が標準的ポアソン括弧に収束するため、通常の古典力学に一致する。
• 双曲的Moyal括弧は、$ E(Q \times P, \bf{G}) $ 上でのフーリエ変換を用い、符号が超分布として表現されることにより、数学的整合性が保証される。
• 作用素合成則 $ \tilde{a} = \tilde{a}_1 \tilde{a}_2 $ は、位相 $ e^{j h^{-1} (p_2, q_1)} $ を含む畳み込みにより実現され、標準的Moyal積の一般化となっている。
• 対応原理が成立する：$ \frac{1}{ih} \tilde{\bullet}_*(h) \to \tilde{\bullet} $ が $ h \to 0 $ のとき成り立ち、古典的極限が確認された。
• 双曲的変形は、全確率公式における $ \text{cosh} $-干渉を引き起こし、標準的量子力学の $ \text{cos} $-干渉とは明確に異なる。
• この枠組みは無限次元位相空間および超代数へ拡張可能であり、双曲的Moyal超括弧が超空間上での通常のポアソン括弧の変形であることが示された。