[論文レビュー] On the classification of the almost contact metric manifolds

Valentin A. Alexiev, Georgi Ganchev|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 1被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、共変微分のテンソル表現を12個の直交的かつU(n)×1不変な成分に分解することにより、ほぼ接触メトリック多様体の完全分類を提示する。表現論とテンソルの対称性を用いて、12個の自然な基本的クラスを同定し、既知の構造（例：α-Sasakianやα-Kenmotsu多様体）を統合するとともに、新たな幾何的クラスを導入する。

ABSTRACT

The vector space of the tensors $\mathcal F$ of type (0,3) having the same symmetries as the covariant derivative of the fundamental form of an almost contact metric manifold is considered. A scheme of decomposition of $\mathcal F$ into orthogonal components which are invariant under the action of $U(n) imes 1$ is given. Using this decomposition there are found 12 natural basic classes of almost contact metric manifolds. The classes of cosymplectic, $α$-Sasakian, $α$-Kenmotsu, etc. manifolds fit nicely to these considerations. On the other hand, many new interesting classes of almost contact metric manifolds arise.

研究の動機と目的

• ほぼ接触メトリック多様体における基本形式の共変微分を、テンソルの対称性を用いて分析することで、ほぼ接触メトリック多様体を分類すること。
• 特定の対称性を持つ(0,3)-テンソルの空間を、U(n)×1作用の下で完全不変部分空間に分解すること。
• この分解に基づいて、12個の自然な基本的クラスを同定し、定義すること。
• 既知の構造（例：コシンプレクティック、α-Sasakian、α-Kenmotsu多様体）を、新しい分類枠組みに統合すること。
• これまでの文献で認識されていなかった、新しい幾何的クラスのほぼ接触メトリック多様体を明らかにすること。

提案手法

• ほぼ接触メトリック多様体上での基本形式の共変微分の対称性を持つ(0,3)-テンソルの空間を表すベクトル空間𝔽を定義する。
• 接空間上の標準的U(n)×1表現を用いて𝔽への表現を誘導し、表現論的分解を適用する。
• 自己同型等長変換L₁およびL₂を導入し、固有空間分解を用いて𝔽を直交的かつU(n)×1不変な部分空間に分解する。
• 12個のテンソル形式F₁からF₁₂を定義し、それぞれが分解の完全不変部分空間に対応するようにする。各形式は幾何的クラスに対応する。
• 射影作用素を構成し、U(n)×1による不変性を検証することで、分解が正規かつ幾何的に意味を持つことを保証する。
• 多様体上の曲率関連テンソルF(x,y,z) = g((∇ₓφ)y,z)にこの分解を適用し、12個の異なる幾何的クラスW₁からW₁₂を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほぼ接触メトリック多様体上での基本形式の共変微分の対称性を持つ(0,3)-テンソル空間の完全分解は何か？
• RQ2 このテンソル空間はU(n)×1作用の下でどのように完全不変部分空間に分解され、その部分空間の幾何的解釈は何か？
• RQ3 既知のほぼ接触メトリック多様体のクラス（例：α-Sasakian、α-Kenmotsu、コシンプレクティック）は、この分類枠組みにどのように適合するか？
• RQ4 この分解から、これまでに認識されていなかった新しい幾何的クラスのほぼ接触メトリック多様体は何か？
• RQ5 各クラスWᵢの定義条件は、内在的幾何的不変量f(F)(ξ)、f*(F)(ξ)、およびω(F)とどのように関係しているか？

主な発見

• 必要な対称性を持つ(0,3)-テンソル空間は、12個の直交的かつU(n)×1不変な成分に分解され、ほぼ接触メトリック多様体の完全分類を形成する。
• クラスW₁は、F(x,y,z) = η(x)η(y)ω(z) − η(x)η(z)ω(y)で定義され、ω(F) = ω(F)かつf(F) = ω(F)を満たす。
• クラスW₂は、F(x,y,z) = f(ξ)/(2n) {η(z)g(x,y) − η(y)g(x,z)}で定義され、f(ξ) ≠ 0かつf*(ξ) = 0を満たすα-Sasakian多様体に対応する。
• クラスW₃は、F(x,y,z) = −f*(ξ)/(2n) {η(z)g(x,φy) − η(y)g(x,φz)}で定義され、f*(ξ) ≠ 0かつf(ξ) = 0を満たすα-Kenmotsu多様体に対応する。
• クラスW₉は、F(x,y,z) = 1/(2(n−1)) {g(φx,φy)f(z) − g(φx,φz)f(y) − g(x,φy)f(φz) + g(x,φz)f(φy)}で特徴づけられ、f(ξ) = 0かつf*(ξ) = 0を満たす。
• コシンプレクティック多様体（F = 0）は、すべての12個のクラスに含まれる。多様体が2つの異なるクラスWiとWj（i ≠ j）に属するための必要十分条件は、それがコシンプレクティックであることである。