[論文レビュー] On the classification of warped product Einstein metrics

Chenxu He, Peter Petersen+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$(\lambda,n+m)$-Einstein方程式を導入・分析することにより、空でない境界をもつ多様体への歪み積アインシュタイン計量の分類を拡張する。主な貢献は、$m>1$ である完全で単連結かつ局所的に共形平坦な $(\lambda,n+m)$-Einstein多様体の完全な分類であり、境界が空でない場合、それらは自明または一定曲率をとることを示している。

ABSTRACT

In this paper we take the perspective introduced by Case-Shu-Wei of studying warped product Einstein metrics through the equation for the Ricci curvature of the base space. They call this equation on the base the $m$-Quasi Einstein equation, but we will also call it the $(λ,n+m)$-Einstein equation. In this paper we extend the work of Case-Shu-Wei and some earlier work of Kim-Kim to allow the base to have non-empty boundary. This is a natural case to consider since a manifold without boundary often occurs as a warped product over a manifold with boundary, and in this case we get some interesting new canonical examples. We also derive some new formulas involving curvatures which are analogous to those for the gradient Ricci solitons. As an application, we characterize warped product Einstein metrics when the base is locally conformally flat.

研究の動機と目的

• 基底多様体に空でない境界をもつ場合に、歪み積アインシュタイン計量の分類を拡張すること。これは自然ではあるが、これまであまり検討されていなかった設定である。
• $(\lambda,n+m)$-Einstein方程式（$m$-準アインシュタイン方程式としても知られる）を境界をもつ多様体へ一般化すること。Case-Shu-Wei や Kim-Kim の先行研究に基づく。
• 特に $m>1$ の場合に、勾配リッチソリトンと類似した新しい曲率公式を導出すること。この類似性は、$m>1$ の場合により強く保たれる。
• 完全で単連結かつ局所的に共形平坦な $(\lambda,n+m)$-Einstein多様体（$m>1$）を特徴づけ、これらの幾何的制約下での完全な分類を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、境界 $\partial M$ をもつリーマン多様体 $M$ 上で $(\lambda,n+m)$-Einstein方程式を分析し、$w$ を境界上で消える滑らかで非負の関数とし、$\mathrm{Hess}\,w = \frac{w}{m}(\mathrm{Ric} - \lambda g)$ を満たすものとする。
• 特に $m>1$ の場合に、勾配リッチソリトンの解析に用いられるのと類似した、新しい曲率恒等式および計量と $w$ のための発展方程式を導出する。
• 局所的に共形平坦な計量の分類には、調和ウェイリ・テンソル条件と $W(\nabla w, \cdot, \cdot, \nabla w) = 0$ の成立が用いられ、曲率構造が簡略化される。
• 次元2では、$w(t)$ に対する2階常微分方程式に問題を還元し、積分因子と位相平面解析を用いて明示的に解く。$\mu$ と $\lambda$ に応じて場合分けを行う。
• 計量の完全性は、$w$ を含む特定の積分の発散を用いて分析され、境界または無限遠点で計量が退化しないことを保証する。
• パラメータ $\mu$ と $\lambda$ を正規化するためのスケーリングおよび座標変換を含み、分類のための標準形に問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空でない境界をもつ多様体上での $(\lambda,n+m)$-Einstein方程式の振る舞いはいかなるものか。この設定でどのような新しい幾何的例が生じるか。
• RQ2 $m>1$ の場合に、$m$-バクリー＝エメリー・リッチテンソルと歪み積アインシュタイン計量の幾何学的性質との関係は何か。
• RQ3 $(\lambda,n+m)$-Einstein計量と勾配リッチソリトンの類似性は、境界をもつ多様体へ拡張可能か。また、どこでその類似性が崩壊するか。
• RQ4 完全で単連結かつ局所的に共形平坦な $(\lambda,n+m)$-Einstein多様体（$m>1$）は何か。境界なしの場合とはどのように異なるか。
• RQ5 $w$ が境界で消える場合に、計量が完全性を保つための条件は何か。これは解空間にどのような制約をもたらすか。

主な発見

• コンパクトな $(\lambda,n+m)$-Einstein多様体で $\lambda \leq 0$ の場合、計量は自明であり、$\mathrm{Ric} = \lambda g$ かつ $w$ は定数である。
• 境界 $\partial M \neq \emptyset$ の場合、ODEの解における定数 $C$ は0でなければならない。これにより、すべての解が一定曲率をとることになる。
• 次元2では、非自明な解が存在するのは $C \neq 0$ の場合に限るが、完全性は $C=0$ のみで達成可能であり、このとき $w = e^t$ となり、一定曲率の計量に対応する。
• $m>1$ の場合、完全で単連結かつ局所的に共形平坦な $(\lambda,n+m)$-Einstein多様体の分類は、境界が空でない場合、完全性と境界条件のおかげで一定曲率空間に帰着される。
• この論文は、$m>1$ の場合、$m$-準アインシュタイン方程式が勾配リッチソリトン方程式と類似した振る舞いを示すが、$m=1$ の場合は類似性が成立せず、追加の制約 $\Delta w = -\lambda w$ が必要となることを確立している。
• $\lambda = -(m+1)$、$\mu = -(m-1)$、$C=0$ のとき、$\mathbb{R}^2 \times F^m$ 上の完全計量 $\mathrm{Ric} = -(m+1)g_E$ が解として得られ、$w = e^t$ を与える。