[論文レビュー] On the classifying space of the family of virtually cyclic subgroups

Wolfgang Lueck, Michael Weiermann|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、特に virtually poly-\(\mathbb{Z}\)、word-hyperbolic、および可算局所 virtually cyclic 群を含むさまざまな群に対して、家族の virtually cyclic 部分群の分類空間の最小ホモトピー次元 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$ を計算する。条件 $M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}}$ の下で、$\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G) + 1$ が成り立つことを確立し、実際に差が $-1$、$0$、または $1$ であるような明示的な例を構成することで、多くの場合にこれらの値しか取り得ないことを示している。

ABSTRACT

We study the minimal dimension of the classifying space of the family of virtually cyclic subgroups of a discrete group. We give a complete answer for instance if the group is virtually poly-Z, word-hyperbolic or countable locally virtually cyclic. We give examples of groups for which the difference of the minimal dimensions of the classifying spaces of virtually cyclic and of finite subgroups is -1, 0 and 1, and show in many cases that no other values can occur.

研究の動機と目的

• 離散群 $G$ の virtually cyclic 部分群の族の分類空間の最小ホモトピー次元 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$ を計算すること。
• $\underline{\underline{E}}G$ の幾何的およびホモトピー的性質を理解し、それらを群論的不変量と関連付けること。
• $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$ と $\operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$ の間の差の可能な値を特定し、多くの場合に $-1$、$0$、$1$ のみが現れることを示すこと。
• virtually poly-\(\mathbb{Z}\) 群に対して $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$ を完全に計算し、次元差を制御した明示的な例を構成すること。

提案手法

• $\underline{E}G$、$\underline{\underline{E}}G$、および最大の virtually cyclic 部分群の正規化群と Weyl 群のモデルを関連付ける $G$-プッシュアウト図式を構成する。
• すべての無限大 virtually cyclic 部分群が一意に最大のものに含まれることを保証する条件 $(M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}})$ を導入し、$\underline{\underline{E}}G$ の構造的分解を可能にする。
• 正規化群が部分群そのものと一致する条件 $(N\!M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}})$ を用いて構成を簡略化し、次元の上限を導出する。
• Atiyah-Hirzebruch 譜系列を用いて等変ホモロジー群を分析し、$H^V_*(\underline{E}V \to \{\bullet\})$ を $K$-理論および $L$-理論における Nil-項と関連付ける。
• 帰納法と制限ファンクターを用いて $N_GV$-等変ホモロジーを $V$-等変ホモロジーと関連付け、Nil-項上に $W_GV$-作用を確立する。
• 群の有向和集合のケースを分析し、$\underline{\underline{E}}G_i$ のモデルから $\underline{\underline{E}}G$ のモデルを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散群 $G$ に対して、最小のホモトピー次元 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$ はどのように計算できるか？
• RQ2 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$ と $\operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$ の関係は何か？ どのような境界が確立できるか？
• RQ3 どの群に対して $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G)$ が有限であり、特に virtually poly-\(\mathbb{Z}\) または word-hyperbolic 群のような主要なクラスで正確な値は何か？
• RQ4 差 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) - \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$ の可能な値は何か？ また、この差は任意に大きくできるか？
• RQ5 $K$-および $L$-理論的アセンブリマップは、Nil-項を通じて $\underline{\underline{E}}G$ の幾何にどのように関係するか？

主な発見

• 任意の条件 $(M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}})$ を満たす群 $G$ に対して、$\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G) + 1$ が成り立つ。
• 群 $G$ が条件 $(N\!M_{\mathcal{FIN} \subseteq \mathcal{VCY}})$ を満たす場合、$\operatorname{hdim}^G(\underline{E}G) \geq 2$ ならば $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) = \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$ であり、そうでない場合は $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) \leq 2$ である。
• 閉じた双曲的 3-多様体の基本群 $\pi$ に対して、$\operatorname{vcd}(\pi) = \dim(N) = \operatorname{hdim}^\pi(\underline{E}\pi) = \operatorname{hdim}^\pi(\underline{\underline{E}}\pi)$ が成り立つが、これは Connolly-Fehrmann-Hartglass の予想に反する。
• 3次元ヘイゼンベルク群 $\operatorname{Hei}$ に対して、$\operatorname{hdim}^{\operatorname{Hei} \rtimes_{f_k} \mathbb{Z}}(\underline{\underline{E}}(\operatorname{Hei} \rtimes_{f_k} \mathbb{Z})) = 4 + k$（$k = -1, 0, 1$）を満たす自己同型 $f_k$ が存在する。
• 次元差 $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) - \operatorname{hdim}^G(\underline{E}G)$ は $-1$、$0$、$1$ のいずれかであり、多くの場合（特に virtually poly-\(\mathbb{Z}\) 群を含む）それ以外の値は現れない。
• 群 $G = \operatorname{Hei} \rtimes_f \mathbb{Z}$ に対して、すべての $f$ に対して $\operatorname{hdim}^G(\underline{E}G) = 4$ であるが、$f$ の内容に応じて $\operatorname{hdim}^G(\underline{\underline{E}}G) = 3, 4, 5$ となり、$\underline{\underline{E}}G$ の次元が作用のダイナミクスに依存することを示している。