[論文レビュー] On the CNOT-cost of TOFFOLI gates

Vivek Shende, Igor L. Markov|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2008

Advancements in Semiconductor Devices and Circuit Design被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、アーキテクチャにアーキテクチャを用いずに、n-キュービットのToffoli ゲートを実装する任意の量子回路が、少なくとも2n個のCNOTゲートを必要とするということを示すことによって、Toffoli ゲートのCNOTコスト最適性を証明している。3キュービットの場合には、正確に6つのCNOTが必要であり、これは文献に既知の分解と一致する。証明は、特にコサイン・サイン分解とデマルチプレクシング分解を用いたカルタン分解を用い、回路の制約を導出し、これらの形式の正規性を活用してCZ数え上げ技術によりCNOT数を上限付ける。

ABSTRACT

The three-input TOFFOLI gate is the workhorse of circuit synthesis for classical logic operations on quantum data, e.g., reversible arithmetic circuits. In physical implementations, however, TOFFOLI gates are decomposed into six CNOT gates and several one-qubit gates. Though this decomposition has been known for at least 10 years, we provide here the first demonstration of its CNOT-optimality. We study three-qubit circuits which contain less than six CNOT gates and implement a block-diagonal operator, then show that they implicitly describe the cosine-sine decomposition of a related operator. Leveraging the canonicity of such decompositions to limit one-qubit gates appearing in respective circuits, we prove that the n-qubit analogue of the TOFFOLI requires at least 2n CNOT gates. Additionally, our results offer a complete classification of three-qubit diagonal operators by their CNOT-cost, which holds even if ancilla qubits are available.

研究の動機と目的

• アーキテクチャを用いずにn-キュービットのToffoliゲートを実装するためのCNOTゲートの最小数を確立すること。
• 3キュービットのToffoliゲートの標準的6CNOT分解が、CNOT数の観点で最適であることを証明すること。
• カルタン分解の正規性を活用して、小さな量子回路におけるCNOT数え上げのフレームワークを構築すること。
• アーキテクチャを用いる場合でも、3キュービットの対角的演算子のCNOTコストを完全に分類すること。
• アーキテクチャを含む回路への分析を拡張し、そのような条件下でのCCZおよびペレスゲートのCNOTコストを同定すること。

提案手法

• 量子回路の特異値分解の一般化として、SU(2^n)におけるKAK（カルタン）分解を用いる。
• コサイン・サイン分解とデマルチプレクシング分解を適用して、回路構造とゲート配置に関する制約を導出する。
• カルタン分解の正規性を活用して、1キュービットゲートの数を制限し、回路トポロジーの探索空間を縮小する。
• キュービット局所のCZコストを導入し、デマルチプレクシング分解からのスペクトル不変量を用いてCNOT数の下界を求める。
• 回路方程式からの行列要素解析を用いてゲート制約を導出し、先行する2キュービット結果をnキュービット系に一般化する。
• 補題13を用いて非対角的1キュービットゲートを除外し、回路を再構成して、重要なCNOTゲート依存関係を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーキテクチャを用いずにn-キュービットのToffoliゲートを実装するためのCNOTゲートの最小数は何か？
• RQ2 3キュービットのToffoliゲートの6CNOT分解は、CNOT数の観点で最適か？
• RQ3 アーキテクチャを用いる場合でも、3キュービットの対角的演算子のCNOTコストを完全に分類できるか？
• RQ4 カルタン分解、特にコサイン・サイン分解とデマルチプレクシング分解は、量子回路における厳密なCNOT数え上げをどのように可能にするか？
• RQ5 アーキテクチャを許容する条件下で、制御-制御-Z（CCZ）およびペレスゲートのCNOTコストは何か？

主な発見

• n-キュービットのToffoliゲートは、アーキテクチャを用いなければ、少なくとも2n個のCNOTゲートを必要とし、これはタイトな下界を示している。
• 3キュービットのToffoliゲートでは、CNOTコストは正確に6であり、アーキテクチャを用いる場合でもこの下限が成立する。
• アーキテクチャを用いる場合のCCZゲートのCNOTコストは6であり、ペレスゲートのCNOTコストは5である。
• この分析により、アーキテクチャを用いる場合でも有効な3キュービット対角的演算子のCNOTコストによる完全な分類が得られた。
• 証明により、Toffoliゲートの標準的6CNOT分解がCNOT最適であることが示され、ニールセンとチャウアンの教科書に提起された未解決問題が解決された。
• この手法により、キュービット局所のCZ数え上げとカルタン分解の正規性を組み合わせることで、一般のnキュービット演算子に対して線形下界を持つ厳密なCNOT数え上げが可能であることが示された。