[論文レビュー] On the coarsest topology preserving continuity

Nicolas Bouleau|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2006

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、関数空間における連続性を保つ最粗位相である「スティッキング位相」を導入する。これは局所一様収束より粗いが、ボレル可測性、局所可積分性、càdlàg正則性といった重要な性質を保ち続ける。この位相では「滑らかに動くヘイプ（非等長連続な列が連続極限に収束する現象）」を許容し、『ヘイプの後での等長連続性』という概念により相対的コンパクト性の基準を提供する。これにより、確率過程における弱収束の解析が可能になる。

ABSTRACT

We study a topology on a space of functions, called sticking topology, with the property to be the weakest among the topologies preserving continuity. In suitable frameworks, this topology preserves borelianity, local integrability, right continuity and other properties. It is coarser than the locally uniform convergence and it allows the presence of gliding humps as we show on examples. We prove relative compactness criteria for this topology and we consider some extensions.

研究の動機と目的

• 連続関数の極限を保つ最粗位相として、関数空間上に新しい位相を定義し分析すること。
• ボレル可測性、局所可積分性、càdlàg性などの解析的性質が、この位相でどのように保たれるかを調査すること。
• スティッキング位相下での関数列の相対的コンパクト性の基準を提供すること。
• 特に弱収束の法則に関する確率過程への応用を探索すること。
• 一様構造を用いてバナッハ空間および境界挙動を示す関数空間へのフレームワークの拡張。

提案手法

• $\mathbb{R}^{\mathbb{R}_+}$ 上に、可能なヘイプの後での局所一様近似を許容する基本近傍を用いて、スティッキング位相を定義する。
• スティッキング位相がハウスドルフであり、点別収束より細かく、局所一様収束より粗いことを確立する。
• ヘイプに類似する不連続性を許容する「ヘイプの後での等長連続性」という、等長連続性の緩和版を導入する。
• 振動を定量化し、位相における収束を制御するために、関数 $\rho(s,t)$ と $e_A(s,t)$ を用いる。
• càdlàg関数の空間であるスコロホド空間 $D$ にこの位相を適用し、それが可度量化可能であり、コンパクト性と周辺分布の収束が満たされれば弱収束と整合することを示す。
• ノルム $\|\cdot\|_s$ を用いて $\ell^\infty$ へ拡張し、境界を持つ領域上の連続関数には局所一様収束と境界での減衰を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数空間上で、極限関数の連続性を保つ最粗位相は何か？
• RQ2 ボレル性、可積分性、càdlàg性などの解析的性質は、スティッキング位相でどのように保たれるか？
• RQ3 上昇が無限大に達する回数が多く、かつ「滑らかに動くヘイプ」を示す列は、この位相で連続極限に収束できるか？また、一様収束や点別収束とはどのように異なるか？
• RQ4 スティッキング位相下での相対的コンパクト性の必要十分条件は何か？
• RQ5 スティッキング位相は、バナッハ空間および境界挙動を示す関数空間へどのように拡張できるか？

主な発見

• スティッキング位相は、局所一様収束より粗く、点別収束より細かいが、連続関数の空間を閉じている。
• この位相では、ボレル可測性、局所可積分性、càdlàg性といった性質が保たれ、これらは通常の点別収束では失われる。
• 上昇回数が無限大に達するが、ヘイプが滑らかに移動する列は、スティッキング位相下で連続極限に収束でき、その強靭性を示している。
• 集合がヘイプの後で等長連続であり、各点で点別に相対的コンパクトであれば、スティッキング位相下で相対的コンパクトである。
• スコロホド空間 $D$ 上の位相は可度量化可能であり、有限次元分布が収束し、tightnessが満たされれば確率測度の弱収束が成立する。
• $\|\cdot\|_s$ を用いた $\ell^\infty$ への拡張、および境界を持つ領域上の連続関数への適用により、ヘイプが境界に向かって移動するのを許容する可度量化可能な位相が得られる。