[論文レビュー] On the Cobordism Class of the Hilbert Scheme of a Surface

Geir Ellingsrud, Lothar Göttsche+1 more|ArXiv.org|Apr 19, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 175

ひとこと要約

この論文は、滑らかな射影的曲面の点のヒルベルトスキームのコボルディズム類の生成関数が、曲面そのもののコボルディズム類にのみ依存することを確立している。トーラス作用とボットの残差公式を用いて、これらのヒルベルトスキーム上のタウトロジカルバンドルのチャーン数と正則オイラー標数を計算し、$ n \leq 7 $ に対してすべてのチャーン数が $ c_1(S)^2 $ と $ c_2(S) $ の非負係数の多項式であることを証明している。

ABSTRACT

Let S be a smooth projective surfaces and S^[n] the Hilbert scheme of zero-dimensional subschemes of S of length n. We proof that the class of S^[n] in the complex cobordism ring depends only on the class of the surface itself. Moreover, we compute the cohomology and holomorphic Euler characterisitcs of certain tautological sheaves on S^[n] and prove results on the general structure of certain integrals over polynomials in Chern classes of tautological sheaves.

研究の動機と目的

• 生成関数 $ H(S) = \sum_{n=0}^\infty [S^{[n]}] z^n $ が複素コボルディズム環に依存することを証明する。この関数は $[S] \in \Omega_2$ のコボルディズム類にのみ依存する。
• $ n \leq 7 $ に対して $ S^{[n]} $ のチャーン数を計算し、それらが $ c_1(S)^2 $ と $ c_2(S) $ の非負係数の多項式として表現できることを示す。
• スペクトル系列とクネンツの公式を用いて、$ S^{[n]} $ 上のタウトロジカル層 $ F^{[n]} $ の正則オイラー標数 $ \chi(F^{[n]}) $ を決定する。
• 生成関数の $ \chi_{-y} $- genus 公式の新しい証明を、生成関数の乗法的性質と固定点計算を用いて行う。
• $ K3 $ 表面に対して、$ n \leq 6 $ の場合に明示的なチャーン数の計算を通じて、楕円的 genus 予想を検証する。

提案手法

• $ H(S) $ が $ \Omega[[z]] $ 内で可逆元であることを使い、生成関数の $[S]$ への依存性を、生成関数の乗法的構造を用いて証明する。
• ボットの残差公式を適用し、$ \mathbb{C}\mathbb{P}^2 $ と $ \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $ 上の固定点が有限個であるようなトーラス作用を分析することで、$ S^{[n]} $ のチャーン数を計算する。
• すべてのチャーン数が $ c_1(S)^2 $ と $ c_2(S) $ の多項式であるという事実を活用し、$ n \leq 7 $ に対して明示的な計算をマセイププログラムで実行する。
• ヒルベルト＝チャウ写像とユニバーサルファミリーを含むカルテジアン図式を用い、スペクトル系列とクネンツの公式を適用することで $ \chi(F^{[n]}) $ を計算する。
• $ R^i f_* \mathcal{O}_{S^{[n]}} $ の高次の直接像の消失と $ Z_n \cong S^{(n-1)} \times S $ の同型を用い、$ F^{[n]} $ のコホモロジーを $ S^{[n-1]} \times S $ のコホモロジーに関連付ける。
• 生成関数の乗法的性質を用い、$ \mathbb{P}^2 $ と $ \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $ において $ \mathbb{C}^* $-作用が明示的なベッチ数の公式を与えることから、$ \chi_{-y} $-genus 公式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルトスキーム $ S^{[n]} $ のコボルディズム類は、曲面 $ S $ のコボルディズム類にのみ依存するか？
• RQ2 $ n \leq 7 $ に対して $ S^{[n]} $ のチャーン数を一様に計算でき、かつ $ c_1(S)^2 $ と $ c_2(S) $ の非負係数の多項式として表現できるか？
• RQ3 タウトロジカル層 $ F^{[n]} $ の正則オイラー標数 $ \chi(F^{[n]}) $ は何か？ また、$ \chi(F) $ と $ S $ のベッチ数とはどのように関係するか？
• RQ4 生成関数 $ H(S) $ の $ \chi_{-y} $-genus は、$ \chi_{-y^m}(S) $ を含む指数的公式を満たすか？ そして、生成関数の乗法的性質を用いてこの公式を証明できるか？
• RQ5 $ K3 $ 表面に対して、$ n \leq 6 $ の場合に $ S^{[n]} $ 上での明示的なチャーン数の計算を通じて、楕円的 genus 予想を検証できるか？

主な発見

• 生成関数 $ H(S) $ はコボルディズム類 $[S]$ のみに依存するため、$[S] = a_1[S_1] + a_2[S_2]$（$ a_1, a_2 \in \mathbb{Q} $）であれば、$ H(S) = H(S_1)^{a_1} H(S_2)^{a_2} $ が成り立つ。
• $ S $ が $ K3 $ 表面で $ n \leq 4 $ の場合、$ S^{[n]} $ のチャーン数は以下の通りである：$ (4) = 324 $、$ (2^2) = 828 $、$ (6) = 3200 $、$ (4,2) = 14720 $、$ (2^3) = 36800 $、$ (8) = 25650 $、$ (6,2) = 182340 $、$ (4^2) = 332730 $、$ (4,2^2) = 813240 $、$ (2^4) = 1992240 $。
• タウトロジカルバンドル $ F^{[n]} $ の正則オイラー標数は、$ \chi(F^{[n]}) = \chi(F) \binom{\chi(\mathcal{O}_S) + n - 2}{n - 1} $ を満たす。
• $ H(S) $ の $ \chi_{-y} $-genus は指数的公式 $ \chi_{-y}(H(S)) = \exp\left( \sum_{m=1}^\infty \frac{\chi_{-y^m}(S)}{1 - (yz)^m} \frac{z^m}{m} \right) $ で与えられ、$ \mathbb{P}^2 $ と $ \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $ 上の固定点計算により検証された。
• 生成関数 $ \phi_{N,k} $ は $ \phi_{N,k}(H(S)) = \frac{1}{(1 - t)^{\phi_{N,k}(S)}} $ を満たす。これは $ \omega_S $ が $ N $ 乗根をもつ場合に成り立つ。
• $ n \leq 7 $ に対して $ S^{[n]} $ のすべてのチャーン数が $ c_1(S)^2 $ と $ c_2(S) $ の非負係数の多項式であることが示され、G. Thompson が観察し、G. Höhn が $ K3 $ 表面の楕円的 genus 予想を $ n \leq 6 $ まで検証する際にこの性質を利用した。