[論文レビュー] On the codimension of the singular locus

David Kazhdan, Tamar Ziegler|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有界次数の多項式によって定義される完備交差の特異点集合の余次元が少なくとも m であることを保証するための非古典的ランクに対する明示的な二重指数関数的上界を確立する。多線形形式、解析的ランク、分割ランクの技法を用いて、著者らは、非古典的ランクが γ(c,d)(1+m)^γ(c,d) を超えるならば、特異点集合の余次元は少なくとも m であることを証明する。これは、以前の定性的な結果を有効な境界に一般化したものである。

ABSTRACT

Let $k$ be a field and $V$ an $k$-vector space. For a family $\bar P=\{ P_i\}_{1\leq i\leq c}, $ of polynomials on $V$, we denote by $\mathbb X _{\bar P}\subset V$ the subscheme defined by the ideal generated by $ \bar P$. We show the existence of $γ(c,d)$ such that the varieties $\mathbb X_{\bar P}$ are smooth outside of codimension $m$, if deg$(P_i)\leq d$ and rank (strength) $r_{nc}(\bar P)\geq γ(d,c) (1+m)^{γ(d,c)}$.

研究の動機と目的

• 完備交差の特異点集合の余次元が少なくとも m であることを保証するための明示的かつ有効な非古典的ランクの上界を提供すること。
• 以前の定性的な結果（このような境界の存在）を、次数 d、多項式の数 c、望ましい余次元 m の明示的・定量的関数に一般化すること。
• 非古典的ランクが γ(c,d)(1+m)^γ(c,d) を超えるならば、特異点集合の余次元が ≥m であることを保証する一様な関数 γ(c,d) を確立すること。
• 高階フーリエ解析の道具、特に解析的ランクと分割ランクを用いて、多項式系に関連する微分写像のファイバー次元を制御すること。
• 単一の多項式からの分析を、適切な射影写像の構成により多項式の系へと拡張すること、そのファイバーが特異点集合を含むこと。

提案手法

• 部分多様体 X_P の特異点集合を微分写像 dP の零点集合として定義し、特異点を dP̃(v) = (P(v), dP(v)) の lift を用いて 0 の逆像として特徴付ける。
• 関連する多変量対称形式 P̃: V^d → k のランクとして非古典的ランク r_nc(P) を定義し、P の複雑さを制御する。
• 多項式の系に対して、微分写像 dP̄: V → (Λ^c V)^∨ を定義し、dP̄̃(v) = (P̄(v), dP̄(v)) の lift を用いて特異点集合を 0 の逆像として特徴付ける。
• 合成写像 p_L ∘ dP̄̃ の解析的ランクが dim(L) よりも大きいように、Λ^c V の大きな部分空間 L ⊂ Λ^c V を構成し、そのファイバー次元が dim(V) - dim(L) であることを保証する。
• フーリエ解析とガウズの均一性ノルムを用いて、多変量形式に関連する指数和の期待値を評価し、解析的ランクと分割ランクを結びつける。
• 鳩の巣原理と背理法を用いて、非古典的ランクが小さすぎる場合には、特定の多変量形式が低分割ランクを持つ必要があることを示し、高ランク仮定に矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界次数の多項式系に対して、特異点集合の余次元が少なくとも m であることを保証するための最小の非古典的ランクは何か？
• RQ2 滑らかさのためのランク閾値の定性的存在結果を、m、d、c の明示的・有効な関数としての境界に強化できるか？
• RQ3 多項式に関連する多変量形式の分割ランクは、特異点集合の余次元とどのように関係するか？
• RQ4 解析的ランクの推定値を、代数幾何学における微分写像のファイバー次元を制御するためにどの程度活用できるか？
• RQ5 任意の c 個の次数 ≤d の多項式系に対して、特異点集合の余次元が ≥m であることを保証する一様関数 γ(c,d) が存在するか？

主な発見

• 本稿は、c 個の次数 ≤d の多項式の族の非古典的ランクが γ(c,d)(1+m)^γ(c,d) 以上であるならば、特異点集合の余次元が少なくとも m であることを保証する関数 γ(c,d) の存在を確立する。
• 境界 γ(c,d)(1+m)^γ(c,d) は d と c に関して二重指数関数的であり、多項式の数と次数への依存を反映している。
• 証明は、非古典的ランクが小さすぎる場合には、特定の多変量形式が低分割ランクを持つ必要があることを示し、フーリエ解析的推定値によって高ランク仮定に矛盾することに依拠する。
• 著者らは、多変量形式に関連する指数和のガウズ均一性ノルムの定量的境界を導出し、これが解析的ランク、したがって分割ランクを制御することを可能にする。
• 鍵となる技術的ステップは、鳩の巣原理を用いて、多変量形式が低分割ランクを示すようなパラメータの大きな集合を見つけることである。これは高ランク仮定に矛盾する。
• 結果として、以前の定性的な結果（命題 1.1）を明示的かつ有効な境界に一般化し、高複雑性が高余次元特異点を除く滑らかさを意味することの定量的版を提供する。