[論文レビュー] On the coefficients of the asymptotic expansion of n!

Gergýo Nemes|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2010

Mathematics and Applications参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、Howardの定理とBrassescoおよびMéndezの最近の結果を用いて、n! の漸近展開におけるStirling係数の明示的・閉形式の公式を導出する。主な貢献は、四則演算と通常の第二種Stirling数のみを用いて係数を表現する公式を提示したことであり、長年にわたり存在しなかったこのような明示的表現の欠如を解消する。

ABSTRACT

Applying a theorem of Howard for a formula recently proved by Brassesco and Méndez, we derive new simple explicit formulas for the coefficients of the asymptotic expansion to the sequence of factorials. To our knowledge no explicit formula containing only the four basic operations was known until now.

研究の動機と目的

• n! の漸近展開におけるStirling係数の明示的・閉形式の式を導出すること。
• 四則演算のみを用いたStirling係数の公式が存在しないという長年の未解決問題を解消すること。
• Stirling係数と通常の第二種Stirling数の間に明確な関係を確立すること。
• 潜在多項式と指数型Bell多項式に関するHowardの定理を用いた構成的証明を提示すること。

提案手法

• BrassescoおよびMéndezの結果から導かれる母関数に、Howardの潜在多項式に関する定理を適用する。
• 生成関数 $ G(x) = 2(e^x - x - 1)/x^2 $ を定義し、その逆べき乗が微分を介してStirling係数を導くようにする。
• 指数型Bell多項式 $ B_{n,i}(0,1,1,\ldots) $ を用いて、係数を第二種Stirling数に表現する。
• 潜在多項式 $ G_n^{(z)} $ を、二項係数と階乗項を含むHowardの公式により表現する。
• 一般式に $ z = k + 1/2 $ および $ n = 2k $ を代入し、$ a_k $ を分離する。
• 指数型母関数、Bell多項式、およびStirling数の恒等式を組み合わせることで最終的な公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四則演算のみを用いて、Stirling係数 $ a_k $ の明示的・閉形式の式を導出可能か？
• RQ2 Stirling係数と通常の第二種Stirling数の間に直接的な関係は存在するか？
• RQ3 潜在多項式に関するHowardの定理を、階乗の漸近展開の新たな公式を導出するために効果的に応用可能か？
• RQ4 Stirling係数の既知の閉形式表現の欠如は、そのような表現が存在しないからであるか、それとも単に未探索にとどまっているだけか？
• RQ5 $ a_k $ の公式を、関連Stirling数や順列のサイクル数といった組合せ的量を含まずに表現可能か？

主な発見

• 本稿では、四則演算と通常の第二種Stirling数のみを用いて、$ a_k $ の最初に知られる明示的公式を確立した。
• 公式は $ a_k = \frac{(2k)!}{2^k k!} \sum_{i=0}^{2k} \binom{k+i-1/2}{i} \binom{3k+1/2}{2k-i} 2^i \sum_{j=0}^{i} \binom{i}{j} (-1)^j j! \frac{S(2k+i+j,j)}{(2k+i+j)!} $ であり、これは正確で、基本的な演算により計算可能である。
• 導出過程により、$ a_k $ が第二種Stirling数 $ S(n,k) $ のみを用いて完全に表現可能であることが確認され、長年にわたり議論されてきたその閉形式表現に関する未解決問題が解決された。
• この結果により、Stirling係数が、関連Stirling数やサイクル数を求める特殊な組合せ関数を含まずに表現可能であることが示された。
• 本手法により、潜在多項式に関するHowardの定理が、新規の生成関数に効果的に応用され、新たなクラスの明示的公式の導出が可能となった。
• この公式により、再帰的関係や複雑な組合せ的和を用いずに、$ a_k $ を構成的かつ計算可能に求められる手段が得られた。