[論文レビュー] ON THE COHOMOLOGICAL CREPANT RESOLUTION CONJECTURE FOR WEIGHTED PROJECTIVE SPACES

Samuel Boissi Ere, Étienne Mann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、重み付き射影空間 P(1;3;4;4) および P(1,…,1;n) に対して修正されたコhomological クレパント解消予想を証明し、Gorenstein orbifold の軌道cohomology環とそのクレパント解消の量子補正cohomology環との間に同型を確立する。Gromov-Witten不変量を用いて変形を定義することで、この結果は、軌道体およびクレパント解消の文脈における一般化された McKay 対応を支持する。

ABSTRACT

We prove a modied version of the Cohomological Crepant Resolu- tion Conjecture for the weighted projective spaces P(1; 3; 4; 4) and P(1; : : : ; 1; n). The Cohomological Crepant Resolution Conjecture, as proposed by Y. Ruan (Rua06), predicts the existence of an isomorphism between the orbifold cohomology ring of a Gorenstein orbifold Y and the quantum corrected cohomology ring of any crepant resolution : Z ! jY j of the coarse moduli space jY j of Y , when it exists. The quantum corrected cohomology ring of Z is a deformation of the cohomology ring whose denition involves Gromov-Witten invariants associated to certain exceptional sets. The conjecture belongs to the so called generalized McKay correspondence which broadly speaking can be viewed as a duality between the algebra of nite groups and the geometry of crepant resolutions. The following examples was used to verify it: the Hilbert scheme of r points on a projective surface S (see (LQ02) for r = 2, (ELQ03) and (LL) for S = P 2 r = 3, and (FG03), (QW02), (Uri05) for r general and S with numerically trivial canonical class); the Hilbert scheme of r points on a quasi-projective surface S carrying a holomorphic symplectic form (see (LQW04), (LS01) and (Vas01));

研究の動機と目的

• 重み付き射影空間の文脈において、コhomological クレパント解消予想を検証すること。
• Gorenstein orbifold の軌道cohomology環とそのクレパント解消の量子補正cohomology環との間に同型を確立すること。
• コhomological 不変量を用いて、非正則な軌道体へ一般化された McKay 対応を拡張すること。
• Gromov-Witten 不変量がクレパント解消のcohomology環の変形に果たす役割を分析すること。

提案手法

• 非自明な軌道体構造を有する重み付き射影空間に、コhomological クレパント解消予想を適応する。
• Gorenstein orbifold Y = P(1;3;4;4) および P(1,…,1;n) の軌道cohomology環を計算する。
• 粗いモジュライ空間 |Y| のクレパント解消 π: Z → |Y| を構成する。
• 例外的除集合に関連する Gromov-Witten 不変量を用いて、Z の量子補正cohomology環を定義する。
• 生成関数を用いて、Y の軌道cohomology環と Z の量子補正cohomology環を比較する。
• 修正された予想の下で、両環の間に同型が存在することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き射影空間 P(1;3;4;4) に対して、コhomological クレパント解消予想は成立するか？
• RQ2 非自明な安定化部分群および非正則特異点を有する軌道体を扱えるように、予想を修正可能か？
• RQ3 P(1,…,1;n) の軌道cohomology環とそのクレパント解消の量子補正cohomology環との間に同型が存在するか？
• RQ4 Gromov-Witten 不変量は、解消のcohomology環の変形にどのように寄与するか？
• RQ5 一般化された McKay 対応は、重み付き射影空間へどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• コhomological クレパント解消予想は、P(1;3;4;4) および P(1,…,1;n) に対して修正形で成立する。
• Gorenstein orbifold Y の軌道cohomology環とそのクレパント解消 Z の量子補正cohomology環との間に同型が存在する。
• Z のcohomology環の変形は、例外的集合に関連する Gromov-Witten 不変量によって完全に決定される。
• 修正された予想は、重み付き射影空間における軌道体構造および特異点を適切に扱っている。
• 結果は、代数幾何学における一般化された McKay 対応の広範な枠組みを支持する。
• この検証は、曲面の点の Hilbert スキームなど、従来の研究事例を超えた範囲での予想の妥当性を示唆する。