[論文レビュー] On the Cohomology of Actions of Groups by Bernoulli Shifts

Sorin Popa, Román Sasyk|ArXiv.org|Oct 15, 2003

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、弱い剛性を持つ可算離散群のベルヌーイシフト作用における最初のコホモロジー群 $ H^1(\sigma) $ を計算し、$ G $ が無限大正規部分群をもつ相対的性質 (T) を持つ場合、$ H^1(\sigma) $ が $ G $ の特徴群に同型であることを証明する。この結果は、性質 (T) と可換性に関する既存の研究を拡張し、射影的表現とヒルベルト＝シュミット技法を用いて、この文脈における最初の明示的コホモロジー計算を達成する。

ABSTRACT

We prove that if $G$ is a countable, discrete group having infinite, normal subgroups with the relative property (T), then the Bernoulli shift action of $G$ on ${\underset g \in G o Π} (X_0, μ_0)_g$ for $(X_{0},μ_{0})$ an arbitrary probability space, has first cohomology group isomorphic to the character group of $G$.

研究の動機と目的

• 可算離散群のベルヌーイシフト作用における最初のコホモロジー群 $ H^1(\sigma) $ を計算すること。
• 群 $ G $ が弱い剛性である、すなわち、$ (G,H) $ が相対的性質 (T) を持つ無限大正規部分群 $ H $ を含む場合、$ H^1(\sigma) $ を特徴づけること。
• 性質 (T) と強い混合性に関する既知の結果を、明示的なコホモロジー計算へと拡張すること。
• ベルヌーイシフトの文脈において、群コホモロジー、ユニタリ表現、およびフォン・ノイマン代数の幾何学的性質との間の構造的関係を確立すること。

提案手法

• スカラーを modulo として考える弱い1-コサイクルと弱いコバウンダリーを用いた、コホモロジー不変量の分析。
• 弱いコサイクル $ w $ から導かれるスカラー値2-コサイクル $ \overline{\gamma} $ を持つ、$ L^2(X,\mu) $ 上の射影的ユニタリ表現 $ \sigma^w $ の構成。
• ヒルベルト＝シュミット作用素空間 $ \mathcal{HS} $ の応用により、作用を $ \mathcal{HS} $ 上のユニタリ表現 $ \widetilde{\sigma}^w $ に上昇させること。
• $ (G,H) $ の相対的性質 (T) を用いて、任意の弱い1-コサイクル $ w $ が $ H $ 上に弱いコバウンダリーに制限されることを示し、$ w|_H $ が $ \mathbb{C} $ を modulo としてスカラー値であることを示すこと。
• 作用 $ \sigma|_H $ の弱い混合性を用いて、$ w_g $ が1のスカラー倍であることを示し、$ w $ が弱いコバウンダリーであることを強制すること。
• $ A_n $ 内のユニタリ代表元のスカラーを除く一意性と $ \bigcap A_n = A_0 $ の交わりを用いて、コバウンダリー構造を $ A_n $ から $ A_0 $ へと降下させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い剛性群 $ G $ のベルヌーイシフト作用 $ \sigma $ に対する最初のコホモロジー群 $ H^1(\sigma) $ の構造は何か？
• RQ2 $ (G,H) $ の相対的性質 (T) は、フォン・ノイマン代数上の $ G $-作用のコホモロジーにどのように影響を与えるか？
• RQ3 ベルヌーイシフトの弱い1-コサイクルは、群 $ G $ の特徴に沿って分類可能か？
• RQ4 ベルヌーイシフトの弱い1-コサイクルが弱いコバウンダリーであるための条件は何か？
• RQ5 $ \sigma $ のコホモロジーと特徴群 $ \widehat{G} $ の関係は何か？

主な発見

• 任意の弱い剛性群 $ G $ に対して、ベルヌーイシフト作用 $ \sigma $ の最初のコホモロジー群 $ H^1(\sigma) $ は特徴群 $ \widehat{G} $ に同型である。
• 弱い剛性群 $ G $ の $ G $-ベルヌーイシフトにおけるすべての弱い1-コサイクルは、弱いコバウンダリーである。
• もし $ w $ が真の1-コサイクルであれば、$ w $ は $ G $ の特徴に同値であり、異なる特徴は非同値なコサイクルを与える。
• $ G = SL(n,\mathbb{Z}) \times \Gamma $ で $ n \geq 3 $ の場合、最初のコホモロジー群 $ H^1(\sigma) $ は双対群 $ \widehat{\Gamma} $ に同型である。
• 群 $ \Gamma $ が自明であれば、$ H^1(\sigma) $ は自明である。特に $ G = SL(n,\mathbb{Z}) $ で $ n \geq 3 $ の場合に該当する。
• 証明は、$ (G,H) $ の相対的性質 (T)、作用の弱い混合性、およびヒルベルト＝シュミット作用素の構造に依存し、コサイクルのスカラー値性を強制する。