[論文レビュー] On the cohomology of certain non-compact Shimura varieties (with an appendix by Robert Kottwitz)

Sophie Morel|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Q 上のunitary群に関連する非コンパクトなシュミラ多様体の交差特異ホモロジーに、トレースを計算し、その結果を一般線型群の積におけるねじれトレース公式によって安定化する。主な貢献は定理8.4.3であり、交差特異ホモロジー複体のL関数を、内包的群上の自動形式L関数の形で表現し、安定トレース公式を通じて算術的幾何学と自動形式との間のリンクを確立する。

ABSTRACT

The goal of this paper is to calculate the trace of the composition of a Hecke correspondence and a (high enough) power of the Frobenius at a good place on the intersection cohomology of the Satake-Baily-Borel compactification of certain Shimura varieties, to stabilize the result for Shimura varieties associated to unitary groups over $\mathbb{Q}$ and to give applications of this calculations using base change from these unitary groups to $GL_n$. ----- Le but de ce texte est de calculer la trace d'une correspondance de Hecke composee avec une puissance (assez grande) du Frobenius en une bonne place sur la cohomologie d'intersection de la compactification de Satake-Baily-Borel de certaines varietes de Shimura, de stabiliser le resultat obtenu pour les varietes de Shimura associees aux groupes unitaires sur $\mathbb{Q}$, et de donner des applications de ces calculs en utilisant le changement de base de ces groupes unitaires a $GL_n$.

研究の動機と目的

• 非コンパクトなシュミラ多様体のバイリー＝ボレルコンパクト化における交差特異ホモロジーに、ヘッケ対応とフロベニウスのべきの合成のトレースを計算すること。
• Q 上のunitary群のための安定的およびねじれトレース公式を用いて、このトレース公式を安定化すること。
• 交差特異ホモロジー複体のL関数を、内包的群上の自動形式L関数の形で表現すること。
• 安定トレース公式を通じて、幾何的ホモロジー不変量と自動形式表現との間の明確なリンクを確立すること。
• コットヴィッツの研究で用いられるオイラー＝ポワンカーレ関数における符号特性の定義を修正・明確化すること。

提案手法

• コットヴィッツとゴレスキー＝コットヴィッツ＝マクファーソンの固定点公式を適用し、ホモロジー上のトレースを軌道積分に関連付ける。
• 重み付きホモロジー複体と交差特異ホモロジーを用いて、バイリー＝ボレルコンパクト化の特異点を扱う。
• 内包的転送と安定化技術を用い、幾何的トレースを内包的群上の自動形式表現に関連付ける。
• 内包的群のためのねじれ転送因子を導入・比較し、以前の定式化における不一致を解消する。
• 基本的補題とハール測度の正規化を適用し、トレース公式における一貫性を保証する。
• 不連結群のための不変トレース公式と安定化技術を用いて、幾何的側への結果の拡張を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトシュミラ多様体の交差特異ホモロジーに作用するヘッケ＝フロベニウス作用素のトレースを明示的に計算するにはどうすればよいか？
• RQ2 交差特異ホモロジー複体のL関数と内包的群上の自動形式L関数との間の明確な関係は何か？
• RQ3 unitary群およびその内包的データの文脈において、ねじれ転送因子と軌道積分はどのように安定化するのか？
• RQ4 コットヴィッツの枠組みにおけるオイラー＝ポワンカーレ関数の符号特性の定義には、どのような修正が必要か？
• RQ5 固定点公式の安定化は、どのようにして自動形式L関数の幾何的実現をもたらすのか？

主な発見

• 定理8.4.3は、unitaryシュミラ多様体の交差特異ホモロジーに作用するヘッケ＝フロベニウス作用素のトレースに対する安定トレース公式を確立する。
• 系8.4.5は、交差特異ホモロジー複体の局所L因子を、内包的群H ∈ EGにおける自動形式表現のL関数の線形結合として表現する。
• L関数 log L℘(s, ICKV) が、内包的群H ∈ EGに関する log L(s − d/2, πH,℘, rH) の和に分解され、明示的な係数cH(πH, rH) を持つことが示された。
• オイラー＝ポワンカーレ関数における符号特性の定義に誤りが修正され、多胞体における向きの反転が常に奇置換に対応するわけではないことが示された。
• 補題A.3.14は、(G,H)-正則元における安定的およびねじれ軌道積分の一致が、G-正則元における一致から、ガーメン展開と中心化子ランクの考察によって導かれることを証明する。
• 付録では、2通りのねじれ転送因子の定式化の不一致が解消され、標準的および自然な定義の下で整合性が保たれ、[K8]における符号誤りが修正されたが、最終的な定理に影響を与えないことが示された。