[論文レビュー] On the cohomology of pure mapping class groups as FI-modules

Rita Jiménez Rolland|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、純写像類群、曲線のモジュライ空間、および関連する微分同相群の有理コホモロジーが、有限生成なFI-加群をなすことを確立し、ベッチ数の多項式的成長および有理コhomological安定性を導く。FI[G]-加群を導入することで、表現安定性の結果を統一・強化し、ベッチ数がnに関して多項式的であること、および明示的な次数の上限を示す。

ABSTRACT

In this paper we apply the theory of finitely generated FI-modules developed by Church, Ellenberg and Farb to certain sequences of rational cohomology groups. Our main examples are the cohomology of the moduli space of n-pointed curves, the cohomology of the pure mapping class group of surfaces and some manifolds of higher dimension, and the cohomology of classifying spaces of some diffeomorphism groups. We introduce the notion of FI[G]-module and use it to strengthen and give new context to results on representation stability discussed by the author in a previous paper. Moreover, we prove that the Betti numbers of these spaces and groups are polynomial and find bounds on their degree. Finally, we obtain rational homological stability of certain wreath products.

研究の動機と目的

• 純写像類群および関連する空間のコホモロジーが有限生成なFI-加群をなすことを確立すること。
• コホモロジー列の文脈における、従来の表現安定性の結果を統一・強化すること。
• ベッチ数がnに関して多項式的に成長することを証明し、その次数に対する明示的な上限を求める。
• ワーレン積やその一般化に対して、フレームワークを拡張し、有理コホモロジー安定性を証明すること。
• FI[G]-加群の概念を導入し、位相的および群コホモロジーにおける安定性結果を一般化・強化すること。

提案手法

• Church, Ellenberg, Farbが開発した有限生成FI-加群の理論を、コホモロジー群の系列に適用すること。
• Conf•(M), Mg,•, PMod•(M), B PDiff•(M) などの共FI空間および共FI群を定義し、空間および群の系列をモデル化すること。
• コホモロジー函手 H^i(–;ℚ) を用いて、これらの共FI対象から次数付きFI-加群を構成すること。
• 定理4.3, 6.1, 6.2, 6.3, 6.6における直接的議論により、各例について H^i(X;ℚ) の有限生成性を証明すること。
• [CEF12] および [CEFN12] の結果を応用し、一様な表現安定性および有理コホモロジー安定性を導出すること。
• FI[G]-加群を導入し、FI-加群の枠組みを一般化し、ワーレン積や群の拡大に応用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純写像類群の有理コホモロジー群は、有限生成なFI-加群をなすか？
• RQ2 これらのコホモロジー群のベッチ数に対して、多項式的成長および明示的な次数の上限を確立できるか？
• RQ3 ワーレン積 G ≀ S_n や関連群に対して、有理コホモロジー安定性が成り立つか？
• RQ4 FI-加群の枠組みを、FI[G]-加群を用いて群作用を含むように拡張できるか？
• RQ5 微分同相群のコホモロジーから生じるFI-加群の安定性範囲および重みは何か？

主な発見

• 有理コホモロジー群 H^i(PMod^n(Σ_g,r);ℚ) は、ℚ 上で有限生成なFI-加群をなし、あるNに依存するn ≥ Nの安定性範囲を有する。
• 純写像類群および関連する空間のベッチ数は、nに関して多項式的に成長し、その次数はiで上限づけられる。
• 任意の体kとi ≥ 0に対して、FI-加群 H^i(B PDiff^n(M);k) は有限生成であり、重み ≤ i であり、k = ℚ のとき安定性型は(2i, i)以下である。
• 有理コホモロジー安定性は、ワーレン積 G ≀ S_n やより一般な群 G ≀ K_n に対しても成り立ち、K_n が共FI群から生じるとき成立する。
• 系列 H^i(G^n × PK_n;ℚ) は一様に表現安定的であり、H^i(G ≀ K_n;ℚ) 内での任意の既約S_n-表現 V(λ)_n の重複度は最終的に定数に近づく。
• FI-加群 H^k(PΣ_•;ℚ) はすべてのk ≥ 0に対して有限生成であり、n ≥ 4k の安定性範囲で純ストリング運動群の均一な表現安定性が確認される。