[論文レビュー] On the cohomology ring of the moduli space of Higgs bundles I: Generators of the ring

Tamás Hausel, Michael Thaddeus|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマン面上のランク2ヒッグス束のモジュライ空間の有理コホモロジー環—中心的定値曲率接続の空間と微分同相である—が、普遍的類によって生成されることを確立している。これは、安定なベクトル束におけるアティヤ・ボットの結果を、非コンパクトなヒッグス束設定へと拡張するものである。主な洞察は、n > 0 に対する K(n) に値をとるヒッグス束空間の直接極限を分析することにあり、これはゲージ群の分類空間のホモトピー型を持つため、普遍的類の生成を保証する。

ABSTRACT

The moduli space of stable vector bundles on a Riemann surface is smooth when the rank and degree are coprime, and is diffeomorphic to the space of unitary connections of central constant curvature. A classic result of Newstead and Atiyah-Bott asserts that its rational cohomology ring is generated by the universal classes, that is, by the Kunneth components of the Chern classes of the universal bundle. This paper studies the larger, non-compact moduli space of Higgs bundles, as introduced by Hitchin and Simpson, with values in the canonical bundle K. This is diffeomorphic to the space of all connections of central constant curvature, whether unitary or not. The main result of the paper is that, in the rank 2 case, the rational cohomology ring of this space is again generated by universal classes. The spaces of Higgs bundles with values in K(n) for n > 0 turn out to be essential to the story. Indeed, we show that their direct limit has the homotopy type of the classifying space of the gauge group, and hence has cohomology generated by universal classes. A companion paper treats the problem of finding relations between these generators in the rank 2 case.

研究の動機と目的

• 安定なベクトル束のコホモロジー環に関する古典的アティヤ・ボットの結果を、非コンパクトなヒッグス束モジュライ空間へと拡張すること。
• canonical bundle K に値をとるランク2ヒッグス束モジュライ空間の有理コホモロジー環が、普遍的類によって生成されるかどうかを特定すること。
• n > 0 に対する K(n) に値をとるヒッグス束空間が、コホモロジー構造を理解する上で果たす役割を分析すること。
• これらのヒッグス束空間の直接極限が、ゲージ群の分類空間のホモトピー型を持つことを確立すること。
• 併行論文で生成子間の関係を特定する基盤を築くこと。

提案手法

• 中心的定値曲率接続の空間とヒッグス束モジュライ空間との微分同相性の利用。
• n > 0 に対する K(n) に値をとるヒッグス束モジュライ空間の直接極限の研究。
• 同相型がゲージ群 G の分類空間 BG のホモトピー型であることを示すためにホモトピー論の適用。
• BG のコホモロジーが普遍的類によって生成されることを活用し、直接極限に対しても同様の生成性を示唆する。
• 直接極限の普遍的類構造から、ランク2ヒッグス束モジュライ空間のコホモロジー環における普遍的類生成性を推論する。
• ユニバーサルバンドルとそのチャーン類を用いて、クネッテン成分を介してコホモロジー環内に普遍的類を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 canonical bundle K に値をとるランク2ヒッグス束モジュライ空間の有理コホモロジー環は、依然として普遍的類によって生成されるか？
• RQ2 n > 0 に対する K(n) に値をとるヒッグス束モジュライ空間は、ヒッグス束モジュライ空間のグローバルコホモロジー構造にどのように寄与するか？
• RQ3 K(n) に値をとるヒッグス束空間の直接極限が、ゲージ群の分類空間のホモトピー型を持つことを示せるか？
• RQ4 ゲージ群の分類空間のコホモロジーとヒッグス束モジュライ空間のコホモロジーとの関係は何か？
• RQ5 ヒッグス束モジュライ空間の非コンパクト性は、そのコホモロジー環の普遍的類による生成にどのように影響するか？

主な発見

• リーマン面上のランク2ヒッグス束モジュライ空間の有理コホモロジー環は、普遍的類によって生成される。
• n > 0 に対する K(n) に値をとるヒッグス束モジュライ空間の直接極限は、ゲージ群 G の分類空間 BG のホモトピー型を持つ。
• このホモトピー同値性は、直接極限のコホモロジーが普遍的類によって生成されることを示唆する。
• ヒッグス束モジュライ空間が K(n) 空間の合併として構造を持つことにより、BG からヒッグス束空間への普遍的類生成性の転送が可能になる。
• 本結果は、安定なベクトル束におけるアティヤ・ボットの定理をランク2の非コンパクトヒッグス束設定へと一般化する。
• 本フレームワークは、併行論文で生成子間の関係を特定する基盤を提供する。