[論文レビュー] On the Combinatorial Power of the Weisfeiler-Lehman Algorithm

Martin Fürer|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特にWL[2]として知られるWeisfeiler-Lehmanアルゴリズムの組合せ的パワーを、グラフ不変量の区別能力について調査する。WL[2]は長さ6までのサイクルの数および4クリークの数を同定できるが、8サイクルおよび4クリークの同定には失敗し、この結果、WL[2]は強力な区別能力を有するが、これらの不変量とは比較不能であることが示された。

ABSTRACT

The classical Weisfeiler-Lehman method WL[2] uses edge colors to produce a powerful graph invariant. It is at least as powerful in its ability to distinguish non-isomorphic graphs as the most prominent algebraic graph invariants. It determines not only the spectrum of a graph, and the angles between standard basis vectors and the eigenspaces, but even the angles between projections of standard basis vectors into the eigenspaces. Here, we investigate the combinatorial power of WL[2]. For sufficiently large k, WL[k] determines all combinatorial properties of a graph. Many traditionally used combinatorial invariants are determined by WL[k] for small k. We focus on two fundamental invariants, the num- ber of cycles Cp of length p, and the number of cliques Kp of size p. We show that WL[2] determines the number of cycles of lengths up to 6, but not those of length 8. Also, WL[2] does not determine the number of 4-cliques.

研究の動機と目的

• Weisfeiler-Lehmanアルゴリズム、特にWL[2]の組合せ的能力を分析し、基本的なグラフ不変量を検出できるかを調査すること。
• WL[2]がさまざまな長さのサイクルの数や特定サイズのクリークの数を一意に同定できるかを特定すること。
• WL[2]が同色エッジ分布を持つ非同型グラフを区別できない限界を調査すること。
• WL[2]とサイクル数・クリーク数といった古典的組合せ的不変量との関係を明確にすること。
• 明示的な反例を用いて、WL[2]と4クリーク数や8サイクル数といった不変量との間に比較不能性があることを確立すること。

提案手法

• 非同型の強正則グラフGとG̃を生成するため、CFI構成を用い、これらは同じエッジ色の多重度を持つためWL[2]では区別できない。
• サイクル数のカウントには、各頂点から出発する長さkのすべてのサイクルを列挙するブルートフォースアルゴリズムを用い、頂点推移性を活用して全サイクル数を計算する。
• WL[2]の色付けプロセスは、色の多重集合に基づいて色を更新する2ホップ近隣の色パターンを用いる、エッジ色付き完全有向グラフに適用される。
• WL[k]の場合、色付けをk個の頂点の組に拡張し、各位置に新しい頂点を代入する操作を用いて色の多重集合を生成する。
• GとG̃間のサイクル数およびクリーク数を、さまざまな長さについて比較し、計算的列挙により差異を検証する。
• 理論的考察は、サイクル数1〜16の結果を表形式にまとめたCycle Countプログラムからの実証的データで裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 WL[2]はグラフ内の長さ8のサイクルの数を同定できるか？
• RQ2 WL[2]はグラフ内の4クリークの数を検出できるか？
• RQ3 WL[2]は4クリーク数という不変量と比較可能か、それとも比較不能か？
• RQ4 どのサイクル長に対して、WL[2]は非同型グラフ間のサイクル数を区別できないか？
• RQ5 WL[2]と、サイクルやクリークといった小規模部分グラフの数え上げの複雑さとの関係は何か？

主な発見

• WL[2]は長さ6までのサイクルの数を同定できる。CFIによって生成されたGとG̃の間でk ≤ 6の範囲ではサイクル数が同一である。
• WL[2]は8サイクルの数を同定できない。Gでは11,952個、G̃では11,688個とサイクル数に差異がある。
• WL[2]は4クリークの数を同定できない。Gには8個のクリークがあるが、G̃にはクリークが存在せず、エッジ色分布は同一である。
• 4クリーク数はWL[2]と比較不能である。非同型グラフをWL[2]が区別できるが、4クリーク数では区別できないようなグラフが存在する。
• k ≤ 7の範囲では、行列乗算技術によりサイクル数え上げがO(n^ω)時間で可能であるが、k ≥ 8では#W完全となるため、複雑性の転換が生じる。
• 正四面体を基本図形とするCFI構成により、非同型のグラフペアが得られ、WL[2]では区別不能であるが、長さ8以降のサイクル数およびクリーク数に差が生じる。