[論文レビュー] On The Communication Complexity of High-Dimensional Permutations

Nati Linial, Pitassi, and Toniann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 40被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、数え上げ的組合せ論とラムゼー理論の基本的問題と、数え上げの額 (NOF) モデルにおける高次元置換の通信複雑性との間に深い関係を確立する。著者らは、加法的組合せ論および超グラフ正則性からの新しい技術を導入し、特に3人プレーヤーの場合のNOF通信複雑性について、新たな上界および下界を導出し、高次元置換の複雑性が、稠密なRuzsa-Szemerédiグラフの構造および3項等差数列を含まない大きな集合の存在と密接に関連していることを明らかにする。

ABSTRACT

We study the multiparty communication complexity of high dimensional permutations, in the Number On the Forehead (NOF) model. This model is due to Chandra, Furst and Lipton (CFL) who also gave a nontrivial protocol for the Exactly-n problem where three players receive integer inputs and need to decide if their inputs sum to a given integer $n$. There is a considerable body of literature dealing with the same problem, where $(\mathbb{N},+)$ is replaced by some other abelian group. Our work can be viewed as a far-reaching extension of this line of work. We show that the known lower bounds for that group-theoretic problem apply to all high dimensional permutations. We introduce new proof techniques that appeal to recent advances in Additive Combinatorics and Ramsey theory. We reveal new and unexpected connections between the NOF communication complexity of high dimensional permutations and a variety of well known and thoroughly studied problems in combinatorics. Previous protocols for Exactly-n all rely on the construction of large sets of integers without a 3-term arithmetic progression. No direct algorithmic protocol was previously known for the problem, and we provide the first such algorithm. This suggests new ways to significantly improve the CFL protocol. Many new open questions are presented throughout.

研究の動機と目的

• 高次元置換のNOF通信複雑性と加法的組合せ論およびラムゼー理論の中心的問題との間に深い関係を解明・形式化すること。
• 特に、Exactly-n問題に関連する関数について、3人プレーヤーNOFモデルの通信複雑性に関する新たな下界および上界を確立すること。
• 超グラフ正則性および加法的組合せ論に基づく新たな証明技術を開発し、NOF複雑性解析における長年の制限を克服すること。
• 高次元置換の複雑性が、進歩自由集合の存在など、組合せ論におけるよく知られた問題と等価またはほぼ等価であることを明らかにすること。
• 通信複雑性、超グラフ除去、および等差数列に関連する主要な未解決問題を提示することで、新たな研究分野を開くこと。

提案手法

• k-部( k−1 )-一様超グラフにおける互いに素なクリークの最大数を制限するために超グラフ除去補題を活用し、αk(n, N) に対する上界を導出する。
• 三角形除去補題およびその一般化を適用し、NOFモデルにおける単色のシリンダー交差を分析する。
• 直線を1点までしか通らない集合 S ⊆[n]^k の閉包の概念を導入し、φk(m)（閉包の最小サイズ）を研究することで通信複雑性を制限する。
• 反復的彩色および長方形に基づく再帰を用いて、単色のAスターカンfigurationを避けるために必要な最小色数 χ3(n, N) の下界を導出する。
• 高次元置換のNOF複雑性を、進歩自由集合のサイズや稠密なRuzsa-Szemerédiグラフなどの極値的組合せ論的問題に還元する。
• 加法的組合せ論からの多項式法および分散に基づく議論を用い、シリンダー交差における1入力の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元置換のNOFモデルにおける通信複雑性は何か？ そして、加法的組合せ論とどのように関係しているか？
• RQ2 χ3(n, n) の下界を Ω(log log n) を超えて改善できるか？ その改善が組合せ論的問題にどのような意味を持つのか？
• RQ3 k-部( k−1 )-一様超グラフにおける互いに素なクリークの最大数 αk(n, N) のタイトな境界は何か？ そして、超グラフ除去補題とどのように関係しているか？
• RQ4 k > 2 に対して、|S| = m で、どの直線にも1点より多く通らない集合 S ⊆[n]^k の最小閉包サイズ φk(m) に対して、非自明な下界は存在するか？
• RQ5 k > 3 に対して χk(n, n) および αk(n, n) の境界は、既知の結果と比較してどうなっており、三角形除去補題の限界をどのように明らかにするか？

主な発見

• 本稿では、超グラフ除去補題およびクリークの密度に関する境界を用いて、すべての k ≥ 3 に対して αk(n, N) ≤ O(k n^{k-2} N / log*(n)) を証明する。
• 3人プレーヤーの場合、χ3(n, n) ≥ log log n − O(log log log n) という下界を確立し、単色のAスターカンfigurationを避けるために、対数的数の色が必要であることを示す。
• χ3(n, n) ≥ Ω(log log n) という境界は、n×nグリッドにおける単色の正三角形（直角二等辺三角形）を避けるために必要な色の数が、任意の定数より速く増加することを示唆する。
• χ3(n, n) ≥ ω(log log n) という下界の改善は、3人プレーヤーNOFモデルにおける確率的と決定的通信複雑性の間の既知のギャップを改善することを意味する。
• 本稿では、χ3(n, n) の上界を 2^{O(√log n)} よりも良くすることができれば、現在知られているものよりも稠密なRuzsa-Szemerédiグラフが得られ、プロパティテストおよび抽出器に大きな影響を与えることを示す。
• 著者らは、[n]^3 において |S| ≥ n²/(log log n)^{c1} で、S がどの直線にも1点より多く通らない場合、|S̄| ≥ n³/(log log n)^{c2} が成り立つと予想している。これは、χ3(n, n) の下界を大幅に強化することを意味する。