[論文レビュー] On the commutant of $C(X)$ in $C^*$-crossed products by $\mathbb{Z}$ and their representations

Christian Svensson, Jun Tomiyama|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$mathbb{Z}$ による $C^*$-クロスプロダクトにおける $C(X)$ の中心化群について詳細な分析を提供し、中心化群の明確な記述とそのスペクトルを確立するとともに、任意の力学的系にかかわらず、閉または非閉の非ゼロイデアルすべてと交わることを証明している。主な結果として、$C(X)^\prime$ は常に最大の可換 $C^*$-部分代数であり、普遍的にイデアル交差性を有する。

ABSTRACT

For the $C^*$-crossed product $C^*(Σ)$ associated with an arbitrary topological dynamical system $Σ= (X, σ)$, we provide a detailed analysis of the commutant, in $C^* (Σ)$, of $C(X)$ and the commutant of the image of $C(X)$ under an arbitrary Hilbert space representation $ ildeπ$ of $C^* (Σ)$. In particular, we give a concrete description of these commutants, and also determine their spectra. We show that, regardless of the system $Σ$, the commutant of $C(X)$ has non-zero intersection with every non-zero, not necessarily closed or self-adjoint, ideal of $C^* (Σ)$. We also show that the corresponding statement holds true for the commutant of $ ildeπ(C(X))$ under the assumption that a certain family of pure states of $ ildeπ(C^* (Σ))$ is total. Furthermore we establish that, if $C(X) \subsetneq C(X)'$, there exist both a $C^*$-subalgebra properly between $C(X)$ and $C(X)'$ which has the aforementioned intersection property, and such a $C^*$-subalgebra which does not have this property. We also discuss existence of a projection of norm one from $C^*(Σ)$ onto the commutant of $C(X)$.

研究の動機と目的

• 任意の位相的力学的系 $\Sigma = (X,\sigma)$ に対して、$C^*$-クロスプロダクト $C^*(\Sigma)$ における中心化群 $C(X)^\prime$ の明確な記述を提供すること。
• $C(X)^\prime$ のスペクトルを特定し、それが標準的ユニタリ $\delta$ の作用に関して不変であることを示すこと。
• $C(X)^\prime$ のイデアル交差性とその表現、特に純粋状態および非閉イデアルとの関係を調査すること。
• $C(X)$ と $C(X)^\prime$ の間の中間 $C^*$-部分代数 $B$ を調べ、イデアル交差性を有するものとそうでないものを特徴づけること。
• $C(X)^\prime$ へのノルム1の射影が存在するための条件を確立し、その存在時に忠実であることを証明すること。

提案手法

• 純粋状態 $\varphi_{y,t}$ に付随する非可約表現 $\tilde{\pi}_{y,t}$ を用いた GNS 構成を用いて中心化群を分析すること。
• 周期 $q$ の系に対して、$C(X)^\prime$ を $a \in C^*(\Sigma)$ で $q \nmid j$ ならば $a(j) = 0$ を満たす要素の集合として明示的に記述すること。
• $\operatorname{Ad}\delta$ および $\operatorname{Ad}\delta^*$ 自動同型を用いて、$C(X)^\prime$ 及びそのスペクトルが双対作用に関して不変であることを示すこと。
• 純粋状態の完全族 $\Phi$ を用いて、$C(X)^\prime$ が非閉イデアルを含むすべての非ゼロイデアルと交わることを証明すること。
• $C^*(\Sigma)$ の代数的部分上にノルムを減少させる線形写像 $E_0$ を構成し、連続性によって $C(X)^\prime$ へのノルム1射影に拡張すること。
• 周期的系における純粋状態の拡張の一意性を用いて、ノルム1射影の一意性および忠実性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の位相的力学的系 $\Sigma = (X,\sigma)$ に対して、$C^*(\Sigma)$ 内の中心化群 $C(X)^\prime$ の正確な構造は何か？
• RQ2 $C(X)^\prime$ は、閉または自己随伴でない非閉イデアルに対しても、常に非ゼロの交わりを持つのか？
• RQ3 $C^*(\Sigma)$ から $C(X)^\prime$ へのノルム1射影が存在するための条件は何か？
• RQ4 $C(X) \subset B \subset C(X)^\prime$ を満たす中間 $C^*$-部分代数 $B$ は、イデアル交差性に関してどのように振る舞うか？
• RQ5 $C(X)^\prime$ のスペクトルと $X$ 上の $\sigma$ の力学的挙動との関係は何か？

主な発見

• 中心化群 $C(X)^\prime$ は、$\operatorname{Ad}\delta$ および $\operatorname{Ad}\delta^*$ に関して不変な可換 $C^*$-部分代数であり、そのスペクトルは周期的点上の $\sigma$-不変測度の空間に位相的に同相である。
• $C(X)^\prime$ は、$C^*(\Sigma)$ の任意の非ゼロイデアル（閉または非閉、自己随伴でないものも含む）と非ゼロの交わりを持つ。これは力学的系 $\Sigma$ に依存しない。
• $C(X)^\prime$ が $C(X)$ よりも真に大きい場合、$C(X) \subsetneq B_1 \subsetneq C(X)^\prime$ および $C(X) \subsetneq B_2 \subsetneq C(X)^\prime$ を満たす中間 $C^*$-部分代数 $B_1$ と $B_2$ が存在し、$B_1$ はイデアル交差性を有するが $B_2$ は有さない。
• $C^*(\Sigma)$ から $C(X)^\prime$ へのノルム1射影が存在するための必要十分条件は、すべての正の整数 $k$ に対して $\operatorname{Per}_k(\sigma)^0$ が閉集合であることであり、このとき射影は一意的かつ忠実である。
• $\Sigma = \operatorname{Per}_q(\sigma)$ である周期的系に対して、$C(X)^\prime$ への一意的なノルム1射影 $E_0$ が存在し、$q$-周期的成分における平均化を用いて明示的に構成される。
• $C(X)^\prime$ のスペクトルは、$y \in \operatorname{Per}_q(\sigma)$ を満たす純粋状態 $\varphi_{y,t}$ の集合に位相的に同相であり、$\delta$ の作用はこのスペクトル上で位相同型を誘導する。