[論文レビュー] On the Complexity of BWT-Runs Minimization via Alphabet Reordering

Jason Bentley, Daniel Gibney+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2019

Algorithms and Data Compression参考文献 33被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、アルファベットの再順序付けによるBurrows-Wheeler変換（BWT）におけるランの最小化の計算複雑性を確立し、意思決定問題がNP完全であることを証明するとともに、指数時間仮説の下では部分指数時間で解けないことを示している。さらに、最適化問題がAPX-hardであることを示し、BWTのランとグラフにおける巡回セールスマン経路の間の驚くべき関係を明らかにするとともに、一度しか出現しない記号を含む制約付きバージョンに対して線形時間アルゴリズムを提供している。

ABSTRACT

The Burrows-Wheeler Transform (BWT) has been an essential tool in text compression and indexing. First introduced in 1994, it went on to provide the backbone for the first encoding of the classic suffix tree data structure in space close to the entropy-based lower bound. Recently, there has been the development of compact suffix trees in space proportional to "$r$", the number of runs in the BWT, as well as the appearance of $r$ in the time complexity of new algorithms. Unlike other popular measures of compression, the parameter $r$ is sensitive to the lexicographic ordering given to the text's alphabet. Despite several past attempts to exploit this, a provably efficient algorithm for finding, or approximating, an alphabet ordering which minimizes $r$ has been open for years. We present the first set of results on the computational complexity of minimizing BWT-runs via alphabet reordering. We prove that the decision version of this problem is NP-complete and cannot be solved in time $2^{o(σ+ \sqrt{n})}$ unless the Exponential Time Hypothesis fails, where $σ$ is the size of the alphabet and $n$ is the length of the text. We also show that the optimization problem is APX-hard. In doing so, we relate two previously disparate topics: the optimal traveling salesperson path and the number of runs in the BWT of a text, providing a surprising connection between problems on graphs and text compression. Also, by relating recent results in the field of dictionary compression, we illustrate that an arbitrary alphabet ordering provides a $O(\log^2 n)$-approximation. We provide an optimal linear-time algorithm for the problem of finding a run minimizing ordering on a subset of symbols (occurring only once) under ordering constraints, and prove a generalization of this problem to a class of graphs with BWT like properties called Wheeler graphs is NP-complete.

研究の動機と目的

• アルファベット再順序付けによるBWTにおけるランの数を最小化する問題の計算複雑性を特定すること。
• 長年の関心にもかかわらず、この問題に対する効率的アルゴリズムが長らく得られなかった理由を理解すること。
• ラン最小化問題に対する硬度結果（NP完全性とAPX-hardness）を確立すること。
• BWTランとグラフ問題、特に巡回セールスマン経路の間の関係を調査すること。
• 一度しか出現しない記号のみを再順序付けする制限付きバージョンの問題に対する多項式時間アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 巡回セールスマン経路問題の変種への還元を用いて、BWTラン最小化の意思決定問題のNP完全性を証明する。
• ギャップを導入する還元を用いて、最適化問題がAPX-hardであることを示し、近似不可能性を確立する。
• 構築されたグラフにおける最適TSP経路長とBWTランの数との間の驚くべき関係を明らかにする。
• 一度しか出現しない記号が固定ブロック制約の下で再順序付けられる制約付きアルファベット順序付け（CAO）問題に対して、線形時間の貪欲法アルゴリズムを開発する。
• BWT構造におけるブロックとタプルの概念を用いて、隣接一致を最大化するように順序付けられる記号集合の列として問題をモデル化する。
• 最長共通拡張（LCE）データ構造を活用して、線形時間でブロック境界を特定し、効率的なタプル構築を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アルファベット再順序付けによるBWTランの最小化問題はNP完全か？
• RQ2 BWTラン最小化問題は定数要因内で近似可能か、それともAPX-hardか？
• RQ3 関連グラフにおける最適TSP経路長とBWTランの数との間に構造的関係があるか？
• RQ4 一度しか出現しない記号のみを再順序付けする制限付きバージョンの問題に対して、多項式時間アルゴリズムを設計可能か？
• RQ5 任意の記号配置制約を含む一般化された制約付きアルファベット順序付け問題の計算複雑性はいかほどか？

主な発見

• アルファベット再順序付けによるBWTラン最小化の意思決定問題はNP完全である。
• 最適化問題はAPX-hardであるため、P = NPでない限り、多項式時間近似スキームは存在しない。
• 指数時間仮説が成り立たない限り、問題は2^o(σ + √n)時間で解けない。
• 構築されたグラフにおける最適TSP経路長とBWTランの数との間の驚くべき関係が確立された。
• 一度しか出現しない記号が固定ブロック制約の下で再順序付けられる制約付きアルファベット順序付け（CAO）問題に対して、最適な線形時間アルゴリズムが提示された。
• 任意のアルファベット順序付けは、一般のラン最小化問題に対してO(log²n)-近似を与える。