[論文レビュー] On the Complexity of Embeddable Simplicial Complexes

Anna Gundert|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$d \leq r \leq 2d$ における $ℝ^r$ に埋め込み可能な単体的複体に含まれる $d$-単体の最大数を調査する。循環的多面体を用いて $Ω(n^{\lceil r/2 \rceil})$ の下界を確立し、極値的超グラフ理論と禁止部分複体を用いて $O(n^{d+1 - 1/3^d})$ の上界を導出する。$r = 2d$ の場合、下界がタイトであることを示している。本研究は、埋め込み可能性と極値的組合せ論における構造的制限と未解決問題を浮き彫りにしている。

ABSTRACT

This thesis addresses the question of the maximal number of $d$-simplices for a simplicial complex which is embeddable into $\mathbb{R}^r$ for some $d \leq r \leq 2d$. A lower bound of $f_d(C_{r + 1}(n)) = Ω(n^{\lceil\frac{r}{2} ceil})$, which might even be sharp, is given by the cyclic polytopes. To find an upper bound for the case $r=2d$ we look for forbidden subcomplexes. A generalization of the theorem of van Kampen and Flores yields those. Then the problem can be tackled with the methods of extremal hypergraph theory, which gives an upper bound of $O(n^{d+1-\frac{1}{3^d}})$. We also consider whether these bounds can be improved by simple means.

研究の動機と目的

• $d \leq r \leq 2d$ の範囲で、$n$ 個の頂点を持つ単体的複体が $ℝ^r$ に埋め込み可能な場合の $d$-単体の最大数を特定すること。
• この範囲における埋め込み可能な単体的複体のサイズに関するタイトな下界と上界を確立すること。
• $r = 2d$ の場合に、循環的多面体の構成が最良の下界を与えるかどうかを検討すること。
• 禁止部分複体を同定することで、極値的超グラフ理論が上界を改善できるかどうかを調査すること。

提案手法

• 埋め込み可能な複体に対して、下界 $\Omega(n^{\lceil r/2 \rceil})$ を達成するための明示的構成として循環的多面体を用いる。
• $r = 2d$ の場合に、van Kampen–Flores 定理を適用して禁止部分複体を同定し、問題を極値的超グラフ理論に還元する。
• $d$-面を $(d+1)$-一様超グラフにおける超辺としてモデル化することで、埋め込み可能性問題を超グラフの極値問題に変換する。
• 極値的超グラフ理論の既知の結果を適用して超辺の数を抑え、上界 $O(n^{d+1 - 1/3^d})$ を得る。
• 極値的関数 $\operatorname{ex}(n, \mathcal{F}_d)$ に対する下界を導出し、$\Omega(n^{d+1 - 2(d+1)/(3^{d+1}-1)})$ を得ることで、上界のタイトさを分析する。
• 構造的予想（例えば、すべての埋め込み可能な複体が、$O(n)$ 個の頂点を持つ単体的 $r$-球の部分複体であるかどうか）を検討し、上界の改善可能性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $r = 2d$ の場合に、下界 $\Omega(n^{\lceil r/2 \rceil})$ はタイトか？
• RQ2 純粋な部分グラフではなく、禁止マイナーまたは分割を考慮することで、上界 $O(n^{d+1 - 1/3^d})$ を改善できるか？
• RQ3 $ℝ^r$ に埋め込み可能なすべての $d$ 次元複体は、$O(n)$ 個の頂点を持つ単体的 $r$-球の部分複体として得られるか？
• RQ4 球体の上界定理が、埋め込み可能な複体のサイズを制約する役割を果たすか？
• RQ5 頂点リンクの $f$-ベクトルに基づく帰納的技法を、奇数次元埋め込みに一般化することで、オーダーの大きさの境界を保てるか？

主な発見

• 循環的多面体 $C_{r+1}(n)$ は $f_d(C_{r+1}(n)) = \Omega(n^{\lceil r/2 \rceil})$ を達成するが、$r = 2d$ の場合に最適であると予想されている。
• $r = 2d$ の場合、循環的多面体による下界は、単により多くの単体を追加するだけでは向上しないことから、タイトであることが示されている。
• 極値的超グラフ理論を用いて、$r = 2d$ に埋め込み可能な複体における $d$-単体の数に対して上界 $O(n^{d+1 - 1/3^d})$ を確立した。
• 極値的関数 $\operatorname{ex}(n, \mathcal{F}_d)$ に対する下界 $\Omega(n^{d+1 - 2(d+1)/(3^{d+1}-1)})$ を得ることで、上界が容易に改善できないことが示された。
• $\mathcal{F}_d$ のマイナーや分割を除外することで、より良い境界が得られる可能性があるが、超グラフのマイナー理論はまだ十分に発展していない。
• すべての $d$-次元複体が $ℝ^r$ に埋め込み可能である場合、$O(n)$ 個の頂点を持つ単体的 $r$-球の部分複体として得られる可能性は残っており、その場合、上界が $O(n^{\lfloor r/2 \rfloor})$ にまで低下し、循環的多面体のオーダーと一致する。