[論文レビュー] On the Complexity of Isomorphism Problems for Tensors, Groups, and Polynomials III: Actions by Classical Groups

Zhili Chen, Joshua A. Grochow+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2023

Tensor decomposition and applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、古典的群—直交群、ユニタリ群、シミプレクティック群—による作用の下での3方向テンソルの同型問題の計算複雑性を調査している。直交群およびシミプレクティック群の下での同型問題は、一般線形群の下での同型問題に還元可能であることが示されている。さらに、直交群およびユニタリ群が3テンソルに作用する5つの自然な作用の間で、多項式時間同値性が確立されており、グラフ同型問題が直交群およびユニタリ群の下でのテンソル同型問題に還元可能であることが証明されている。

ABSTRACT

We study the complexity of isomorphism problems for d-way arrays, or tensors, under natural actions by classical groups such as orthogonal, unitary, and symplectic groups. Such problems arise naturally in statistical data analysis and quantum information. We study two types of complexity-theoretic questions. First, for a fixed action type (isomorphism, conjugacy, etc.), we relate the complexity of the isomorphism problem over a classical group to that over the general linear group. Second, for a fixed group type (orthogonal, unitary, or symplectic), we compare the complexity of the decision problems for different actions. Our main results are as follows. First, for orthogonal and symplectic groups acting on 3-way arrays, the isomorphism problems reduce to the corresponding problem over the general linear group. Second, for orthogonal and unitary groups, the isomorphism problems of five natural actions on 3-way arrays are polynomial-time equivalent, and the d-tensor isomorphism problem reduces to the 3-tensor isomorphism problem for any fixed d>3. For unitary groups, the preceding result implies that LOCC classification of tripartite quantum states is at least as difficult as LOCC classification of d-partite quantum states for any d. Lastly, we also show that the graph isomorphism problem reduces to the tensor isomorphism problem over orthogonal and unitary groups.

研究の動機と目的

• 直交群、ユニタリ群、シミプレクティック群などの古典的群による作用の下でのテンソルの同型問題の計算複雑性を理解すること。
• 同じ群タイプに対して異なる作用（例えば、共役、同値）の下での同型問題の複雑性を比較すること。
• 古典的群の下での同型問題の複雑性を一般線形群の下でのものと関連付けること。
• テンソル同型と、グラフ同型や量子情報におけるLOCC分類といった計算複雑性理論の基本的問題との関係を確立すること。
• 多変量代数および量子系における同型問題のための統一的な複雑性理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 群作用解析を用いて、古典的群（直交群、シミプレクティック群、ユニタリ群）の下での同型問題を、一般線形群の下での対応する問題に還元する。
• ブロック同型およびリンクドブロック同型の技術を用いて、テンソル構造を分解し、同型テストを単純化する。
• 直和分解を保つようにテンソルを標準形に変換する多項式時間アルゴリズムの適用。
• 既知のTI完全性結果を活用し、グラフ同型およびLOCC分類を古典的群の下でのテンソル同型に還元すること。
• 群不変性の制約（例：直交群では XtX = I）を伴う多項式方程式系の解法として同型問題を定式化する。
• 実際の同型テストのため、有限体上でのランダムな直交行列のサンプリングに計算代数システム（例：Magma）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交群およびシミプレクティック群の下で3方向配列に対して作用する同型問題は、一般線形群の下での同型問題に還元可能か？
• RQ2 直交群およびユニタリ群が3方向配列に作用する5つの自然な作用は、同型複雑性の観点で多項式時間同値か？
• RQ3 d > 3 に対して、ユニタリまたは直交群作用の下でdテンソル同型問題は3テンソル同型問題に還元可能か？
• RQ4 d > 3 に対して、三部量子状態のLOCC分類は、d部量子状態のLOCC分類以上に難しいか？
• RQ5 グラフ同型問題は、直交群およびユニタリ群の下でのテンソル同型問題に還元可能か？

主な発見

• 直交群およびシミプレクティック群が3方向配列に作用する場合、同型問題は、一般線形群の下での対応する問題に還元可能である。
• 直交群およびユニタリ群の下で、3方向配列に作用する5つの自然な作用は、同型複雑性の観点で多項式時間同値である。
• 任意の固定された d > 3 に対して、ユニタリ群作用の下でdテンソル同型問題は3テンソル同型問題に還元可能である。
• ユニタリ群作用の下で、三部量子状態のLOCC分類は、任意の d > 3 に対してd部量子状態のLOCC分類以上に難しい。
• グラフ同型問題は、直交群およびユニタリ群の下でのテンソル同型問題に還元可能である。
• 古典的群の下での同型の複雑性は、TI完全性フレームワークと密接に関連しており、実用的意義は量子情報および統計的データ解析に及ぶ。