[論文レビュー] On the Complexity of Quadratization for Polynomial Differential Equations

Mathieu Hemery, François Fages+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、化学反応ネットワーク（CRNs）における二分子反応のみを用いたモデル化に不可欠な、多項式常微分方程式（ODE）を等価な二次ODEに変換する quadratization の計算複雑性を調査する。本稿では、変換における変数数や単項式数の最小化がいずれもNP困難であることを証明し、ベンチマーク例の効率的解法を可能にするMAX-SATエンコーディングを提案する。これにより、次数5のヒル関数を実現する最小の7種類の物質、11反応からなるCRNを構築できる。

ABSTRACT

Chemical reaction networks (CRNs) are a standard formalism used in chemistry and biology to reason about the dynamics of molecular interaction networks. In their interpretation by ordinary differential equations, CRNs provide a Turing-complete model of analog computattion, in the sense that any computable function over the reals can be computed by a finite number of molecular species with a continuous CRN which approximates the result of that function in one of its components in arbitrary precision. The proof of that result is based on a previous result of Bournez et al. on the Turing-completeness of polyno-mial ordinary differential equations with polynomial initial conditions (PIVP). It uses an encoding of real variables by two non-negative variables for concentrations, and a transformation to an equivalent quadratic PIVP (i.e. with degrees at most 2) for restricting ourselves to at most bimolecular reactions. In this paper, we study the theoretical and practical complexities of the quadratic transformation. We show that both problems of minimizing either the number of variables (i.e., molecular species) or the number of monomials (i.e. elementary reactions) in a quadratic transformation of a PIVP are NP-hard. We present an encoding of those problems in MAX-SAT and show the practical complexity of this algorithm on a benchmark of quadratization problems inspired from CRN design problems.

研究の動機と目的

• 高次多項式ODEを等価な二次ODEに変換する際の計算複雑性を分析すること。
• このような変換における分子種の数や基底反応の数を最小化することが計算的に容易かどうかを特定すること。
• MAX-SATエンコーディングに基づく最適化アルゴリズムの開発および評価を行い、実用的なCRN設計に応用すること。
• 自動化された quadratization の効率を、例えばMAPKシグナル伝達経路のような既知の生物学的ネットワークと比較すること。
• BioModelsデータベースの実世界のモデルに対する本手法のスケーラビリティを評価すること。

提案手法

• 本稿は、与えられたPIVPに対して、変数（種）数または単項式（反応）数を最小化する二次ODE系への quadratization 問題を定式化する。
• 既知のNP完全問題への帰着を用いて、両最適化バージョンのNP困難性を証明する。
• MAX-SATエンコーディングを提案し、これにより市販のSATソルバーを用いた最適化が可能になるようにモデル化する。
• 合成的および生物学的ODE系を含む20件の quadratization ベンチマーク問題に対してアルゴリズムを評価する。
• BioModelsの大型モデルに対しては、探索空間を縮小するために高次単項式をプルーニングする拡張を施すが、完全なインスタンスは依然として解けない。
• 非負のペアによる変数置換を用いて実数値変数を符号化し、二分子反応のみのCRNにおいてチューリング完全性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PIVPの二次変換における分子種の数を最小化することは計算的に容易か？
• RQ2 このような変換における単項式数（基底反応数）の最小化はNP困難か？
• RQ3 MAX-SATエンコーディングは実用的なCRN設計のための quadratization 問題を効果的に解けるか？
• RQ4 最小二次系のサイズは、MAPK経路のような既知の生物学的ネットワークと比べてどの程度か？
• RQ5 MAX-SATベースのアルゴリズムは、BioModelsデータベースの実世界のモデルに対してどの程度スケーラブルか？

主な発見

• PIVPの二次変換における変数数または単項式数の最小化はいずれもNP困難であり、CRN設計における根本的な計算複雑性の障壁を示している。
• MAX-SATエンコーディングは、20件のベンチマーク例のうち19件で最適または近似最適な quadratization を成功裏に計算した。これには次数5のヒル関数も含まれる。
• 次数5のヒル関数に対しては、最小の7種類の物質、11反応からなるCRNが生成され、物質数の観点で12種類の物質、10反応を要するMAPKネットワークを上回っている。
• 符号化サイズの指数的増加のため、1時間以内に完全なBioModelsインスタンス（例：モデル123）を解くことはできなかったが、プルーニングにより実行可能な解法が可能になった。
• 本稿では、短縮された記号的表現において問題がNEXP困難になる可能性があると仮説を立てており、これは最適解のサイズが指数的に増大する可能性に起因する。
• 本研究は、quadratizationがCRNベースのアナログ計算の理論的必要性であるだけでなく、多くの関連する生物学的ODEに対しても実用的に解けることを示している。