[論文レビュー] On the Complexity of Random Quantum Computations and the Jones Polynomial

Ryan L. Mann, Michael J. Bremner|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ランダムな量子計算をシミュレートする古典的複雑性と、ジョーンズ多項式を近似する平均ケースの難易度との直接的な関連を確立する。多項式階層が崩壊しないこと、および相対誤差近似におけるジョーンズ多項式の平均ケースの難易度が最悪ケースと同等であるという仮定の下で、定数の全 Variation 距離まで古典的シミュレーションが不可能であることを証明する。

ABSTRACT

There is a natural relationship between Jones polynomials and quantum computation. We use this relationship to show that the complexity of evaluating relative-error approximations of Jones polynomials can be used to bound the classical complexity of approximately simulating random quantum computations. We prove that random quantum computations cannot be classically simulated up to a constant total variation distance, under the assumption that (1) the Polynomial Hierarchy does not collapse and (2) the average-case complexity of relative-error approximations of the Jones polynomial matches the worst-case complexity over a constant fraction of random links. Our results provide a straightforward relationship between the approximation of Jones polynomials and the complexity of random quantum computations.

研究の動機と目的

• ランダムな量子計算の古典的複雑性と、ジョーンズ多項式を近似する平均ケース複雑性との間の関係を確立すること。
• 相対誤差近似におけるジョーンズ多項式の平均ケース複雑性が、最悪ケースと同等であるかどうかを検討すること。これは、複雑性境界のための重要な仮定である。
• 従来、恒等式や他の難解な関数に基づいてきた量子優位性の議論を、ジョーンズ多項式という新たな量子計算優位性の候補へと拡張すること。
• 標準的な複雑性理論的予想を仮定して、定数の全 Variation 距離までランダムな量子回路の古典的シミュレーションが不可能であることを形式的に証明すること。
• 近似ユニタリ設計と反濃度境界を活用して、ジョーンズ多項式に基づく量子優位性の複雑性理論的根拠を強化すること。

提案手法

• 既知のジョーンズ多項式の量子計算的普遍性を用いて、その近似複雑性と量子回路サンプリング問題を関連付ける。
• ストックマイヤーの定理を適用し、NP および FBPP クラスへのアクセスを用いて、相対誤差の範囲内でジョーンズ多項式を近似する。
• 近似ユニタリ t-設計（t ≥ 2）を用いてランダムな量子回路をモデル化し、行列要素における反濃度境界を導出する。
• ペイリー＝ツィグムント不等式を用いて、ランダムユニタリ行列の行列要素が閾値を超える確率を評価し、近似設計条件に依存する。
• 反濃度境界と多項式階層内の近似カウントを組み合わせることで、古典的シミュレーションが多項式階層の崩壊を意味することを示す。
• 平均ケースにおける相対誤差近似の複雑性が、定数の割合のランダムなリンクに対して最悪ケースの複雑性と一致するという予想に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョーンズ多項式近似の平均ケース難易度を用いて、ランダムな量子回路の古典的シミュレーションの複雑性を束縛できるか？
• RQ2 ジョーンズ多項式の相対誤差近似の平均ケース複雑性が、最悪ケース複雑性と一致する条件は何か？
• RQ3 ジョーンズ多項式の近似の難易度は、定数の全 Variation 距離までランダムな量子回路が古典的にシミュレートできないことを示唆するか？
• RQ4 近似ユニタリ設計と行列要素の反濃度性質は、ジョーンズ多項式に基づく量子優位性の議論をどのように支援するか？
• RQ5 多項式階層は、ジョーンズ多項式近似を介して、ランダムな量子回路の効率的古典的シミュレーションを排除するために果たす役割は何か？

主な発見

• 多項式階層が崩壊しないという仮定の下で、定数の全 Variation 距離までランダムな量子回路の古典的シミュレーションは不可能である。
• 本稿は、相対誤差近似におけるジョーンズ多項式の平均ケース複雑性が最悪ケースと同等である（予想1）という仮定のもとで、ランダムな量子回路の古典的シミュレーションが古典的に非効率であることを証明する。
• 著者らは、ε-近似 t-設計（t ≥ 2）からのユニタリ行列が反濃度境界を満たすことを確立した：|⟨α|U|β⟩|² が γ/d を超える確率は、0 ≤ γ ≤ 1−ε に対して (1−ε−γ)²/(2(1+ε)) 以上である。
• ストックマイヤーの定理を用いて、ジョーンズ多項式の相対誤差近似が FBPP^NP^C 内で達成可能であることを示し、多項式時間内に多項式の相対誤差で古典的に近似可能であることを可能にする。
• 証明は、反濃度と近似カウントを用いて、ランダムな量子回路の出力分布と理想分布との l1 距離を束縛することに依存する。
• この結果により、恒等式やその他のカウント問題に限られていた量子優位性の議論の枠組みが、ジョーンズ多項式へと拡張され、量子優位性の証拠として用いられる関数のクラスが拡大された。