[論文レビュー] On the Complexity of Real Functions

Mark Braverman|ArXiv.org|Feb 15, 2005

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、BSSモデルとビット計算可能性を統合・拡張する、実関数における計算可能性と計算量のフレームワークを提案する。このフレームワークにより、連続的でない関数や多価関数も扱えるようになり、関数のグラフの有効計算可能性に基づく計算可能性の定義と、弱計算可能性および強計算可能性の概念を用いることで、連続関数に対して多項式時間計算可能性を実現するとともに、不連続関数に対しては計算量のギャップを明らかにし、特定の関数についてグラフの多項式時間計算可能性がP = NPを意味することを示している。

ABSTRACT

We develop a notion of computability and complexity of functions over the reals, which seems to be very natural when one tries to determine just how "difficult" a certain function is. This notion can be viewed as an extension of both BSS computability [Blum, Cucker, Shub, Smale 1998], and bit computability in the tradition of computable analysis [Weihrauch 2000] as it relies on the latter but allows some discontinuities and multiple values.

研究の動機と目的

• 『簡単』と『難しい』計算の直感的感覚を捉える、実関数のための計算可能性および計算量理論の構築。
• exp(x) や √x などの関数を含まないBSSモデルの制限を解消し、ヘヴィサイドのステップ関数のような不連続関数を含まないビット計算可能性モデルの制限を解消すること。
• 連続な分岐をもたない複素数平面への平方根関数 √: C → C のような多価関数への計算可能性の拡張。
• P や NP といった離散的複雑性クラスと整合する、実関数のための複雑性階層の確立。
• 特定の不連続関数について、グラフの多項式時間計算可能性がP = NPを意味することを示し、根本的な複雑性のトレードオフを明らかにすること。

提案手法

• 関数 f: R^k → R^ℓ のグラフの有効計算可能性に基づく新しい計算可能性モデルを導入。入力のdyadic近似へのオラクルアクセスを用いる。
• 3つの複雑性概念を定義：グラフの強多項式時間計算可能性、弱多項式時間計算可能性、標準多項式時間計算可能性。強多項式時間計算可能性は標準を含み、標準は弱を含む。
• dyadic近似の入力に対するオラクルチューリングマシンを用い、必要な精度内で f(x) のdyadic近似を計算する。
• 連続関数の多項式時間計算可能性を特徴づけるために、連続性のモジュラスの概念を用い、古典的複雑性と関連付ける。
• グラフが強多項式時間計算可能であるが、関数自体の計算が多項式時間で可能であるとすればP = NPを意味する、多価的かつ不連続な関数 f: [0,1] → P([0,1]) を構築する。
• BSSモデルにおいて、集合 A が −log x に関して多項式時間で計算可能であるが、関数 f(x,y) = x·χA(x,y) は、SATをP時間で解かなければグラフの多項式時間計算が不可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BSS計算可能性とビット計算可能性を両方拡張する統合的複雑性フレームワークを、実関数に対して開発できるか？
• RQ2 ヘヴィサイドのステップ関数や複素数平方根といった、不連続で多価な実関数を、計算可能であると意味的に分類できるか？
• RQ3 関数のグラフの多項式時間計算可能性と、関数自体の多項式時間計算可能性との関係は何か？
• RQ4 特定の不連続関数について、多項式時間計算可能なグラフが存在する場合、P = NP といったより強い複雑性の結果が導かれるか？
• RQ5 −log x に関して多項式時間で計算可能なBSS集合 A が、関数 f(x,y) = x·χA(x,y) のグラフが多項式時間で計算可能でないような関数を生み出すことは可能か？

主な発見

• 多項式モジュラスの連続関数のグラフは、標準定義における多項式時間計算可能性と同値である。
• 不連続かつ多価関数 f: [0,1] → P([0,1]) が存在し、そのグラフは強多項式時間計算可能であるが、f 自体を多項式時間で計算可能とすればP = NPが導かれる。
• 同じ関数により、f の標準多項式時間計算可能性が、そのグラフの強多項式時間計算可能性を意味するとは限らないことが示され、P = NP でない限り成立しない。
• −log x に関して多項式時間で計算可能なBSS集合 A ⊂ [0,1]×[−1,1] が存在し、関数 f(x,y) = x·χA(x,y) はBSSε,b_Cで計算可能であるが、そのグラフを多項式時間で計算可能とするには、P時間でSATを解く必要がある。
• このフレームワークにより、グラフの弱計算可能性は標準的ビット計算可能性と同値であり、強グラフ計算可能性は一般には標準的関数計算可能性よりも厳密に強いことが示された。
• 結果として、実関数の複雑さは、関数自体を計算するのか、それともそのグラフを計算するのかに大きく依存しており、不連続性が根本的な複雑性ギャップを生じることが明らかになった。