[論文レビュー] On the complexity of stratified logics

Luca Vercelli|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2010

Logic, programming, and type systems参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、階層的論理と予防的再帰の関係を調査するために、帰納的体系における複雑さを体系的に分析できる、マルチモーダルで階層的なフレームワーク（MS）を導入する。2つの拡張が提示される：soLALは直感的軽量アフィン論理（ILAL）のマルチモーダル一般化であり、LALLは再帰的型を含む弱い階層化システムであり、両者とも安全な記法上での再帰（SRN）断片への構成的埋め込みを可能にする。主な貢献は多項式時間の健全性を保証する文法的基準の特定であり、MS 内での最大の多項式時間の健全な部分系の同定である。

ABSTRACT

Our primary motivation is the comparison of two different traditions used in ICC to characterize the class FPTIME of the polynomial time computable functions. On one side, FPTIME can be captured by Intuitionistic Light Affine Logic (ILAL), a logic derived from Linear Logic, characterized by the structural invariant Stratification. On the other side, FPTIME can be captured by Safe Recursion on Notation (SRN), an algebra of functions based on Predicative Recursion, a restriction of the standard recursion schema used to defiine primitive recursive functions. Stratifiication and Predicative Recursion seem to share common underlying principles, whose study is the main subject of this work.

研究の動機と目的

• FPTIME に内在する抽象的原則を明らかにすることを目的とし、階層化に基づく Intuitionistic Light Affine Logic (ILAL) と予防的再帰に基づく Safe Recursion on Notation (SRN) の2つの伝統を比較する。
• 既知の BC– 片段の SRN から ILAL への構成的埋め込みを一般化することで、論理的フレームワークを拡張すること。
• 新しいマルチモーダルで階層的なフレームワーク（MS）の部分系において、多項式時間の健全性を保証する基準を確立し、FPTIME 実行可能関数のみが捕捉されるようにすること。
• 固定されたモダリティのもとで、導出（プログラム）としての導出の集合を最大限に保持する、MS 内の最大の多項式時間の健全な部分系を同定すること。
• 階層化に基づくシステムによって、完全な SRN クラスが捉えられるかどうかを検討し、その場合、どのような文法的および構造的条件下で実現可能かを明らかにすること。

提案手法

• 任意のモダリティ集合を固定し、明確に定義された一般化規則の集合から選択することで、部分系を生成するマルチモーダルで階層的な演繹的フレームワーク MS を導入する。
• 文法的かつ決定可能な条件に再定式化するため、多項式時間の健全性の基準を導出するために、文脈的意味論を技術的ツールとして用いる。
• soLAL を提案する。これは ILAL のマルチモーダル一般化であり、元の BC– 断片よりも厳密に大きな SRN（SRN–）断片の埋め込みを可能にする。
• LALL を導入する。これは ILAL の2つのモダリティを保持するが、正規化コストを増加させることなく、自由な再帰的型の導入を許可する弱い階層化システムである。
• 構成的埋め込みを用いて、すべての有限 SRN プログラム断片が LALL に埋め込まれることを示し、LALL の緩い階層化と型システムを活用する。
• 規則形式の文法的分析を用いて、MS の部分系 P が多項式時間の健全性を有するか否かを、構造的不変量に基づいて判断する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 階層化と予防的再帰の関係を、既知の BC– から ILAL への埋め込みを越えて、形式化し強化することは可能か？
• RQ2 MS の部分系 P が多項式時間の健全性を有する、すなわち FPTIME 関数のみを計算する、どのような文法的および構造的条件が成立するか？
• RQ3 ILAL のマルチモーダル拡張（soLAL）は、元の BC– よりも厳密に大きな SRN 片段を埋め込むことができるか？また、その場合、複雑さはどのように保たれるか？
• RQ4 LALL における弱い階層化の形式は、有限 SRN 断片の完全な構成的埋め込みを可能にするとともに、多項式時間の健全性を維持できるか？
• RQ5 SRN や ILAL、soLAL、LALL のようなシステムの文法的官僚主義から、FPTIME の抽象的原則をどの程度まで分離可能か？

主な発見

• MS フレームワークは、多項式時間の健全性とそうでないシステムを含む、多様な計算的表現力を持つ部分系を体系的に生成可能である。
• 規則構造に基づく、完全に文法的かつ決定可能な基準が確立され、与えられた MS の部分系 P が多項式時間の健全性を有するか否かを判断できる。
• MS の最大の多項式時間の健全な部分系は、固定されたモダリティ集合のもとで、多項式時間の正規化を保つ導出（プログラム）の集合を最大限に含むものとして特定される。
• soLAL は ILAL のマルチモーダル一般化であり、元の BC– よりも厳密に大きな SRN（SRN–）断片の埋め込みを可能にし、BC– ⊊ SRN– ⊊ SRN が成り立つ。
• LALL は弱い階層化に基づくものであり、すべての有限 SRN プログラム断片の構成的埋め込みを可能にし、多項式時間の複雑さを維持する。
• 顕著な進展にもかかわらず、soLAL も LALL も標準的な埋め込みの意味で完全な SRN クラスを捉えていないため、さらなる構造的原則が解明されていないことが示唆される。