[論文レビュー] On the Complexity of Team Logic and Its Two-Variable Fragment

Martin Lück|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ブール的否定を含むチーム論理の2変数フラグメント、FO2(∼) の充足可能性問題が、非要素的複雑性クラス TOWER(poly) に完全であることを確立する。著者らは、有限モデル性質と、モーダルチーム論理（MTL）から FO2(∼) への新規翻訳を用いてこれを証明する。この翻訳は、モーダル論理から一階論理への標準的翻訳を拡張したものであり、また、変数および量化子ランクの制約に応じて、モデルチェックイングの複雑性が PSPACE- または ATIME-ALT(exp, poly)-完全であることも分類する。

ABSTRACT

We study the logic FO(~), the extension of first-order logic with team semantics by unrestricted Boolean negation. It was recently shown axiomatizable, but otherwise has not yet received much attention in questions of computational complexity. In this paper, we consider its two-variable fragment FO2(~) and prove that its satisfiability problem is decidable, and in fact complete for the recently introduced non-elementary class TOWER(poly). Moreover, we classify the complexity of model checking of FO(~) with respect to the number of variables and the quantifier rank, and prove a dichotomy between PSPACE- and ATIME-ALT(exp, poly)-completeness. To achieve the lower bounds, we propose a translation from modal team logic MTL to FO2(~) that extends the well-known standard translation from modal logic ML to FO2. For the upper bounds, we translate to a fragment of second-order logic.

研究の動機と目的

• FO2(∼)、すなわちブール的否定を拡張したチーム論理の2変数フラグメントの充足可能性および妥当性問題の計算複雑性を特定すること。
• FO2(∼) に対して有限モデル性質を確立し、その帰結として決定可能性の結果を得ること。
• 変数数および量化子ランクに制限を加えた場合の、FO(∼, D) のモデルチェックイング複雑性を分類し、PSPACE と ATIME-ALT(exp, poly) 複雑性の二分法を明らかにすること。
• モーダル論理から一階論理への標準的翻訳を拡張し、モーダルチーム論理（MTL）を FO2(∼) に翻訳する手法を開発することにより、下界構築を可能にすること。

提案手法

• モーダルチーム論理（MTL）から FO2(∼) への新規標準的翻訳を導入し、古典的なモーダル論理（ML）から FO2 への標準的翻訳を拡張する。
• この翻訳は充足可能性を保存する。MTL の充足可能性をこれに還元することで、FO2(∼) に対する TOWER(poly)-ハードネスを証明する。
• FO2(∼) に対して有限モデル性質が確立され、充足可能なすべての論理式が有限モデルを持つことを保証する。
• モデルチェックイング複雑性の分析は、FO(∼, D) の論理式を二階論理（SO）に翻訳することで行い、ATIME-ALT(exp, poly) における上界を得る。
• モデルチェックイング複雑性における二分法を証明する：変数数および量化子ランクが有界であれば PSPACE-完全、そうでなければ ATIME-ALT(exp, poly)-完全。
• FO2(∼) の充足可能性に対する上界は、有限モデル性質と、二階論理への翻訳によるモデルチェックイング上界から導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2変数フラグメントのチーム論理にブール的否定を加えた FO2(∼) の充足可能性問題の計算複雑性は何か？
• RQ2 FO2(∼) は有限モデル性質を満たすか？ また、その性質は決定可能性にどのように関連するか？
• RQ3 変数数および量化子ランクが有界な制限のもとで、FO(∼, D) のモデルチェックイング複雑性は何か？
• RQ4 モーダル論理から一階論理への標準的翻訳を、チーム意味論へ拡張することで、モーダルチーム論理を FO2(∼) に表現できるか？
• RQ5 k-量化子ランクフラグメント FO2_k(∼) の充足可能性問題も TOWER(poly)-完全か、それとも別の複雑性クラスを要するか？

主な発見

• FO2(∼) の充足可能性および妥当性問題は、いずれも非要素的複雑性クラス TOWER(poly) に完全である。
• 変数数および量化子ランクが無限大に拡大する場合、FO(∼, D) のモデルチェックイング問題は ATIME-ALT(exp, poly)-完全である。
• 変数数および量化子ランクが有界である場合、FOn_k(∼, D) のモデルチェックイング問題は PSPACE-完全である。
• MTL から FO2(∼) への翻訳が構築され、充足可能性を保存し、還元による下界結果を可能にする。
• FO2(∼) に対して有限モデル性質が成立し、充足可能なすべての論理式が有限モデルを持つことが保証される。これは、充足可能性に対する上界を導く上で不可欠である。
• FO2_k(∼) の充足可能性問題は ATIME-ALT(expk+1, poly)-ハードであることが示され、上界が一致する可能性があるが、未解決のままである。