[論文レビュー] On the Complexity of the $k$-Anonymization Problem

Venkatesan T. Chakaravarthy, Vinayaka Pandit+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2010

Privacy-Preserving Technologies in Data参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、実用的制約下における$k$-匿名化問題の計算複雑性を確立し、列数$m$が定数（例：$m=3$）であっても、NP困難かつMAXSNP困難であることを証明している。さらに、近似比が$\frac{6238}{6237}$未満であることは不可能であることを示している。また、$m$とアルファベットサイズ$|\Sigma|$がともに定数である場合、問題は多項式時間で解けることが示され、小パラメータ設定下での tractability に関する重要な未解決問題が解決された。

ABSTRACT

We study the problem of anonymizing tables containing personal information before releasing them for public use. One of the formulations considered in this context is the $k$-anonymization problem: given a table, suppress a minimum number of cells so that in the transformed table, each row is identical to atleast $k-1$ other rows. The problem is known to be NP-hard and MAXSNP-hard; but in the known reductions, the number of columns in the constructed tables is arbitrarily large. However, in practical settings the number of columns is much smaller. So, we study the complexity of the practical setting in which the number of columns $m$ is small. We show that the problem is NP-hard, even when the number of columns $m$ is a constant ($m=3$). We also prove MAXSNP-hardness for this restricted version and derive that the problem cannot be approximated within a factor of (6238/6237). Our reduction uses alphabets $Σ$ of arbitrarily large size. A natural question is whether the problem remains NP-hard when both $m$ and $|Σ|$ are small. We prove that the $k$-anonymization problem is in $P$ when both $m$ and $|Σ|$ are constants.

研究の動機と目的

• 列数$m$が小さいという実用的制約下における$k$-匿名化問題の複雑性を調査すること。
• 既存の還元が任意に大きな$m$に依存しているにもかかわらず、$m$が定数であっても問題がNP困難のままであるかどうかを特定すること。
• 特に$O(k)$-近似の壁に関連して、列数$m$が定数である場合の問題の近似不可能性を検討すること。
• 列数$m$とアルファベットサイズ$|\Sigma|$がともに固定定数である場合、問題が tractable になるかどうかを解明すること。
• パラメータが有界な領域における$k$-匿名化の完全な複雑性特徴付けを提供すること。

提案手法

• 行パターンと匿名化パターンを用いて、$m=3$の場合でも$k$-匿名化のNP困難性を示す、既知のNP困難問題への還元。
• ギャップを導入する還元を用いたMAXSNP困難性の証明により、定数倍の近似不可能性の境界を確立。
• $m$と$|\Sigma|$が定数である場合に、変数数が定数である整数線形計画法（ILP）を用いて問題を最適に解く。
• コストが度量でない施設配置問題に類似した匿名化タスクのモデル化：パターンを施設、行をクライアントとみなす。
• 使用される（開かれた）パターンの集合を予想するために、匿名化パターンのすべての可能な部分集合を反復処理し、各予想に対してILPを解く。
• 変数数が定数に制限される場合に、Lenstraの定理を用いてILPを多項式時間で解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 列数$m$が定数（例：$m=3$）である場合、$k$-匿名化問題はNP困難であるか？
• RQ2 列数$m$が定数であっても、$k$-匿名化問題は$\frac{6238}{6237}$未満の近似比で近似可能か？
• RQ3 $m$とアルファベットサイズ$|\Sigma|$がともに固定定数である場合、問題は多項式時間で解けるか？
• RQ4 $m = O(\log n)$の場合に、$k$-匿名化の最良の近似比は何か？ また、$O(\log k)$を超える改善は可能か？
• RQ5 列数が有界な条件下で、$k$-匿名化問題に多項式時間近似スキーム（PTAS）が存在するか？

主な発見

• 列数$m$が3に固定されていても、$k$-匿名化問題はNP困難であることが示され、実用的複雑性に関する重要な未解決問題が解決された。
• 同じ制約下で問題はMAXSNP困難であることが示され、多項式時間近似スキーム（PTAS）が存在しないことが示唆される。
• 問題は$\frac{6238}{6237}$未満の近似比で近似不可能であり、本問題に対する最初の明示的な近似不可能性境界が確立された。
• $m$と$|\Sigma|$がともに定数である場合、変数数が定数であるILPを用いて問題は多項式時間で解ける。
• 近似不可能性境界$\frac{6238}{6237}$は、$k=7$（固定定数）の場合にも成立する。
• この結果から、標準的な複雑性仮定のもとで、$O(k)$-近似を改善することは、特に$m$が有界な領域ではおそらく不可能であると示唆される。