[論文レビュー] On the complexity of the Maker-Breaker happy vertex game

Mathieu Hilaire, Perig Montfort+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2026

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ひとこと要約

本論文は Scoring Happy Vertex Game（Maker-Breaker バージョン）の複雑さを様々なグラフクラスで調べ、木では PSPACE 完全、カーターピラーでは NP-hard、分割された星では多項式解法、隣接多様性による固定パラメータトラクタビリティを示すとともに、リテラル-節のインシデンスグラフやいくつかの非循環 MAX-2-SAT のバリアントを導入して難易度結果を得る。

ABSTRACT

Given a c-colored graph G, a vertex of G is happy if it has the same color as all its neighbors. The notion of happy vertices was introduced by Zhang and Li to compute the homophily of a graph. Eto, et al. introduced the Maker-Maker version of the Happy vertex game, where two players compete to claim more happy vertices than their opponent. We introduce here the Maker-Breaker happy vertex game: two players, Maker and Breaker, alternately color the vertices of a graph with their respective colors. Maker aims to maximize the number of happy vertices at the end, while Breaker aims to prevent her. This game is also a scoring version of the Maker-Breaker Domination game introduced by Duchene, et al. as a happy vertex corresponds exactly to a vertex that is not dominated in the domination game. Therefore, this game is a very natural game on graphs and can be studied within the scope of scoring positional games. We initiate here the complexity study of this game, by proving that computing its score is PSPACE-complete on trees, NP-hard on caterpillars, and polynomial on subdivided stars. Finally, we provide the exact value of the score on graphs of maximum degree 2, and we provide an FPT-algorithm to compute the score on graphs of bounded neighborhood diversity. An important contribution of the paper is that, to achieve our hardness results, we introduce a new type of incidence graph called the literal-clause incidence graph for 2-SAT formulas. We prove that QMAX 2-SAT remains PSPACE-complete even if this graph is acyclic, and that MAX 2-SAT remains NP-complete, even if this graph is acyclic and has maximum degree 2, i.e. is a union of paths. We demonstrate the importance of this contribution by proving that Incidence, the scoring positional game played on a graph is also PSPACE-complete when restricted to forests.

研究の動機と目的

• スコアリングを自然な Maker-Breaker ゲームのバリアントとしての Scoring Happy Vertex Game の動機づけと domination game との関係を示す。
• グラフクラス全体でゲームのスコアを計算する計算複雑性を特徴づける。
• 難易度と可解性に関する硬直性・補助問題を確立する新しい構造的還元を開発する。
• Milnor の universe フレームワークと新しい 2-SAT バリアントを用いて既知結果を拡張し、還元を促進する。

提案手法

• Milnor’s universe 内で Scoring Happy Vertex Game とそのスコア関数を定義する。
• グラフ成分の分離を考える unions/sums と Milnor の結果を活用して分離可能な成分について推論する。
• 同一近傍を持つ頂点移動を比較するために Maker-Breaker Happy Vertex 設定へ Super Lemma を適用する。
• [G]B という分解グラフを導入して Breaker が支配的な頂点を除去し位置を簡略化する。
• 2-SAT のリテラル-節インシデンスグラフを導入し、非循環 Q-MAX 2-SAT が PSPACE 完全であることを証明；これを用いて Incidence の森ベースの難易度を示す。
• スコア計算に対して neighborhood diversity による FPT アプローチを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Scoring Happy Vertex Game を様々なグラフクラスで解く計算複雑性はいくつか？
• RQ2 木、カーターピラー、森林といった制限されたグラフクラスにおいて Maker-Breaker 支配の hardness 結果をスコアリング版に転用できるか？
• RQ3 新しい非循環 MAX-2-SAT バリアントとリテラル-節インシデンスグラフは Incidence および SHVG の PSPACE 完全性または NP-hardness の還元を生み出すか？
• RQ4 分割された星、パスの和集合など、スコアを多項式時間で計算できるトレース可能なグラフ族は存在するか？
• RQ5 隣接多様性が有界なグラフに対して FPT アルゴリズムでスコアを効率的に計算できるか？

主な発見

• SHVG は s = 1 の制限下でも有界次数の二部グラフまたは分割グラフで PSPACE-Complete。
• SHVG は木上で PSPACE-Complete、カーターピラー上で NP- hard。
• 分割された星および路径の合成でスコアは多項式時間で計算可能。
• 隣接多様性によってパラメータ付けされた FPT 時間でスコアを計算可能。
• 新しいインシデンスグラフのバリアント（リテラル-節インシデンスグラフ）は非循環グラフ上で QMAX 2-SAT が依然として PSPACE-Complete、かつ循環性なし・次数制限下で MAX-2-SAT が NP-hard であることを示し、Incidence への森ベースの還元を可能にする。