[論文レビュー] On the Complexity of the Minimum Cost Homomorphism Problem for Reflexive Multipartite Tournaments

Gregory Gutin, Eun Jung Kim|ArXiv.org|Aug 19, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ループを許す反射的マルチパートイトーチャンに適用可能な最小コストホモモーフィズム問題（MinHOMP）の二分類を提供し、問題が多項式時間で解けるのは、反射的非巡回トーナメント、またはループを含む4頂点非巡回マルチパートイトーチャンの特定のクラスである場合に限ることを証明している。著者は二部グラフ表現と構造的解析を用いて、その他のすべてのケースではNP困難であることを示し、反射的マルチパートイトーチャンにおけるMinHOMPの複雑さに関する重要な未解決問題を解決した。

ABSTRACT

For digraphs $D$ and $H$, a mapping $f: V(D)\dom V(H)$ is a homomorphism of $D$ to $H$ if $uv\in A(D)$ implies $f(u)f(v)\in A(H).$ For a fixed digraph $H$, the homomorphism problem is to decide whether an input digraph $D$ admits a homomorphism to $H$ or not, and is denoted as HOMP($H$). Digraphs are allowed to have loops, but not allowed to have parallel arcs. A natural optimization version of the homomorphism problem is defined as follows. If each vertex $u \in V(D)$ is associated with costs $c_i(u), i \in V(H)$, then the cost of the homomorphism $f$ is $\sum_{u\in V(D)}c_{f(u)}(u)$. For each fixed digraph $H$, we have the {\em minimum cost homomorphism problem for} $H$ and denote it as MinHOMP($H$). The problem is to decide, for an input graph $D$ with costs $c_i(u),$ $u \in V(D), i\in V(H)$, whether there exists a homomorphism of $D$ to $H$ and, if one exists, to find one of minimum cost. In a recent paper, we posed a problem of characterizing polynomial time solvable and NP-hard cases of the minimum cost homomorphism problem for acyclic multipartite tournaments with possible loops (w.p.l.). In this paper, we solve the problem for reflexive multipartite tournaments and demonstrate a considerate difficulty of the problem for the whole class of multipartite tournaments w.p.l. using, as an example, acyclic 3-partite tournaments of order 4 w.p.l.\footnote{This paper was submitted to Discrete Mathematics on April 6, 2007}

研究の動機と目的

• ループを許す反射的マルチパートイトーチャン（w.p.l.）における最小コストホモモーフィズム問題（MinHOMP）の多項式時間で解けるケースとNP困難なケースを同定すること。
• 先行研究で提起された、ループを許す非巡回マルチパートイトーチャンにおけるMinHOMPの複雑さに関する未解決問題を解消すること。
• 構造的解析と二部グラフ表現技術を用いて二分類を確立すること。
• 特に3部非巡回マルチパートイトーチャン（4頂点）w.p.l. のような困難なケースを分析することで、ループを許す一般のマルチパートイトーチャンにおけるMinHOMPの本質的複雑さを明らかにすること。

提案手法

• 有向グラフの二部グラフ表現を用いてMinHOMPの複雑さを分析し、既知の無向グラフに関する結果を活用する。
• 適切な区間二部グラフに関する定理3.6を応用し、誘導部分グラフ（例：二部グラフのネット、テント、長さ6のサイクル）を用いてNP困難性を同定する。
• 部分集合のサイズと異なる部分集合間の支配関係に基づく構造的ケース解析。
• 誘導部分有向グラフを用いた還元技術：部分有向グラフの二部グラフ表現が適切な区間二部グラフでない場合、MinHOMP(H) はNP困難である。
• 反射的トーナメントおよび特定の4頂点有向グラフに関する先行の二分類結果を活用し、多項式ケースを分類する。
• 補題3.1, 3.4, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, および3.7を用いて、構造的条件に基づきNP困難性または多項式時間での可解性を体系的に証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの反射的マルチパートイトーチャンに対して最小コストホモモーフィズム問題が多項式時間で解けるか？
• RQ2 反射的マルチパートイトーチャンのどの構造的性質がMinHOMPにおけるNP困難性を引き起こすか？
• RQ3 二部グラフ表現を用いることで、反射的マルチパートイトーチャンにおけるMinHOMPの複雑さを完全に分類できるか？
• RQ4 一般の非巡回マルチパートイトーチャン（w.p.l.）のケースは、なぜ反射的ケースよりも著しく複雑なのか？
• RQ5 4頂点非巡回マルチパートイトーチャンにループを許す場合、どのような正確な条件下でMinHOMPが多項式時間で解けるか？

主な発見

• H が反射的非巡回トーナメントである場合、MinHOMP(H) は多項式時間で解ける。
• H に誘導されたサイクル、または二部グラフのネット／テントが含まれる場合、非適切な区間二部グラフ表現により、MinHOMP(H) はNP困難である。
• H に2つ以上のサイズが1より大きい部分集合がある場合、MinHOMP(H) はNP困難である。
• 任意の部分集合に3つ以上の頂点がある場合、補題4.4および4.5により、MinHOMP(H) はNP困難である。
• 4頂点非巡回マルチパートイトーチャン H で A(H) = {12,23,34,14,24} ∪ B かつ B ⊆ {11,22,33} である場合、{33} ⊆ B ⊆ {11,22,33} ならば MinHOMP(H) は多項式時間で解けるが、それ以外の場合はNP困難である。
• 頂点集合 {1,2,3,4}、弧集合 {12,23,24} ∪ B（B ⊆ {11,22,33,44}）である H' のケースは未解決であり、特に B = {33,44} の場合、現在の分類を超えた複雑さを示している。