[論文レビュー] On the Complexity of the Minimum Latency Scheduling Problem on the Euclidean Plane

Henry Lin, Frans Schalekamp|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2012

Mobile Ad Hoc Networks参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、任意の送信電力レベルが許可される条件下で、ユークリッド平面上の物理的SINRモデルにおいて、経路損失指数α ≥ 3のすべての値に対して、最小遅延スケジューリング（MLS）問題がNP困難であることを証明している。著者らは、3彩色問題への還元を用いてこの結果を確立し、ノードとエッジのギャジェットを構築することで、元のグラフが3彩色可能であることと、3ラウンドの実行可能なスケジュールが存在することの必要十分条件を満たす無線ネットワークインスタンスを構築した。干渉は電力制御と幾何配置を用いて慎重に制御されている。

ABSTRACT

We show NP-hardness of the minimum latency scheduling (MLS) problem under the physical model of wireless networking. In this model a transmission is received successfully if the Signal to Interference-plus-Noise Ratio (SINR), is above a given threshold. In the minimum latency scheduling problem, the goal is to assign a time slot and power level to each transmission, so that all the messages are received successfully, and the number of distinct times slots is minimized. Despite its seeming simplicity and several previous hardness results for various settings of the minimum latency scheduling problem, it has remained an open question whether or not the minimum latency scheduling problem is NP-hard, when the nodes are placed in the Euclidean plane and arbitrary power levels can be chosen for the transmissions. We resolve this open question for all path loss exponent values $α\geq 3$.

研究の動機と目的

• ノードがユークリッド平面上に配置され、任意の送信電力レベルが許可される状況下で、最小遅延スケジューリング（MLS）問題がNP困難であるかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 送信電力の上限または下限を仮定しない状況でも、MLS問題がNP困難であることを示すこと。これは、従来の結果がこのような制約を必要としていたのを拡張するものである。
• NP困難性の結果に基づき、MLS問題が4/3より良い定数因子で近似可能でないことを示すこと。
• グラフの3彩色問題からMLS問題への構成的還元を提供すること。幾何配置と電力レベルの割り当てを用いて、論理的スケジューリングラウンドを模倣する。

提案手法

• 平面グリッドグラフの3彩色問題（NP完全）を、物理的SINRモデル下でのユークリッド平面上のMLS問題に還元する。
• ノードギャジェットとエッジギャジェットを備えたネットワークインスタンスを構築し、ノードの彩色に基づいて3ラウンドにわたる送信をスケジューリングする。
• 大部分の送信に対して電力レベル1を、エッジギャジェットとノードギャジェットの間の「境界」送信に対しては電力レベル2を用いて干渉を制御する。
• 距離n²以内の送信のみを考慮することで、キーレシーバー受信機への干渉を制限し、遠方からの送信が干渉に与える影響が無視できる（o(1/n)）ことを示す。
• 幾何的および電力ベースの制御を用いて、SINRが閾値を超えることを保証することで、すべての意図的な受信が成功することを証明する。
• 元のグラフが3彩色可能であることと、構築されたMLSインスタンスで3ラウンドの実行可能なスケジュールが存在することは、互いに必要十分条件であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノードがユークリッド平面上に配置され、任意の送信電力レベルが許可される状況下で、最小遅延スケジューリング問題はNP困難か？
• RQ2 送信電力の上限または下限を仮定しない状況でも、MLSのNP困難性を示せるか？
• RQ3 経路損失指数αが2に限りなく近い値に対しても、この困難性の結果は拡張可能か？
• RQ4 MLS問題は、4/3より良い定数因子で近似可能でないか？
• RQ5 この還元を変更することで、フェージングメトリクスや他の幾何的設定に対しても困難性を示せるか？

主な発見

• 任意の送信電力レベルが許可される条件下で、ユークリッド平面上の経路損失指数α ≥ 3のすべての値に対して、最小遅延スケジューリング問題はNP困難である。
• NP困難性の結果に伴い、MLS問題は4/3より良い定数因子で近似可能でないことが示された。
• 還元により、3ラウンドのスケジュールが存在するインスタンスは、元のグラフが3彩色可能であることと必要十分条件を満たす無線ネットワークインスタンスが構築された。
• 距離n²を超える送信からの干渉は無視できるものであり、任意の受信機における干渉に与える影響はo(1/n)であることが示された。
• SINR閾値を満たすために、内部送信には電力1、境界送信には電力2を慎重に割り当てることに依存している。
• 中央集権的および分散型のアルゴリズムの両方に対して、この結果は成り立つ。構築はアルゴリズムモデルに依存しない。