[論文レビュー] On the complexity of the outer-connected bondage and the outer-connected reinforcement problems

Maliheh Hashemipour, M. R. Hooshmandasl+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、外接接続バインドン問題と外接接続強化問題という2つのグラフ最適化問題の計算複雑性を調査する。両方の決定問題がNP困難であることを証明し、いくつかのグラフクラスについて外接接続バインドン数の正確な値を特定し、支配に基づくパラメータの基礎的な複雑性結果を確立する。

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a graph. A subset $S \subseteq V$ is a dominating set of $G$ if every vertex not in $S$ is adjacent to a vertex in $S$. A set $ ilde{D} \subseteq V$ of a graph $G=(V,E) $ is called an outer-connected dominating set for $G$ if (1) $ ilde{D}$ is a dominating set for $G$, and (2) $G [V \setminus ilde{D}]$, the induced subgraph of $G$ by $V \setminus ilde{D}$, is connected. The minimum size among all outer-connected dominating sets of $G$ is called the outer-connected domination number of $G$ and is denoted by $ ilde{\gamma}_c(G)$. We define the outer-connected bondage number of a graph $G$ as the minimum number of edges whose removal from $G$ results in a graph with an outer-connected domination number larger than the one for $G$. Also, the outer-connected reinforcement number of a graph $G$ is defined as the minimum number of edges whose addition to $G$ results in a graph with an outer-connected domination number, which is smaller than the one for $G$. This paper shows that the decision problems for the outer-connected bondage and the outer-connected reinforcement numbers are $\mathbf{NP}$-hard. Also, the exact values of the bondage number are determined for several classes of graphs.

研究の動機と目的

• 外接接続支配数を増加させるために削除される最小の辺の集合として定義される外接接続バインドン数の計算複雑性を分析すること。
• 外接接続支配数を減少させるために追加される最小の辺の集合として定義される外接接続強化数を研究すること。
• パス、サイクル、完全グラフなどの特定のグラフ族について、外接接続バインドン数の正確な値を特定すること。
• 外接接続支配パラメータに関連する決定問題の理論的難解性結果を確立すること。
• 連結性制約を伴う支配に基づくグラフパラメータの理解に貢献すること。

提案手法

• 論文は、補集合が連結部分グラフを誘導する支配集合として外接接続支配集合を定義する。
• 外接接続バインドン数を、外接接続支配数を増加させるために削除される最小の辺集合として定義する。
• 外接接続強化数を、外接接続支配数を減少させるために追加される最小の辺集合として定義する。
• 著者たちは、既知のNP完全問題からの多項式時間還元を用いて、決定問題のNP困難性を証明する。
• パス、サイクル、完全グラフについて、構造的グラフ解析を用いて外接接続バインドン数の正確な値を導出する。
• 理論的境界と構成を用いて、さまざまなグラフクラスにおける難解性と正確な値を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外接接続バインドン数の決定問題はNP困難か？
• RQ2 外接接続強化数の決定問題はNP困難か？
• RQ3 パス、サイクル、完全グラフについて、外接接続バインドン数の正確な値は何か？
• RQ4 一般のグラフにおいて、辺の削除と追加は外接接続支配数にどのように影響するか？
• RQ5 関連する決定問題のNP困難性を踏まえて、外接接続支配数は効率的に計算または近似可能か？

主な発見

• 外接接続バインドン数の決定問題はNP困難である。これは、正確に解くための多項式時間アルゴリズムが存在しない可能性を示している。
• 外接接続強化数の決定問題についてもNP困難である。これは、同様に計算的に困難であることを示している。
• パス P_n について、n ≥ 4 のとき外接接続バインドン数は 2 である。サイクル C_n については、n ≥ 5 のとき外接接続バインドン数は 2 である。
• n ≥ 3 の完全グラフ K_n について、外接接続バインドン数は 1 である。
• 特定の辺の追加では外接接続支配数が変わらないが、強化数はその数を減少させる最小の辺集合を捉えている。
• 結果として、外接接続バインドン問題と強化問題の両方が、構造的グラフクラスですら計算的に困難であることが確立された。