[論文レビュー] On the composition and decomposition of positive linear operators III: A non-trivial decomposition of the Bernstein operator

Heiner Gonska, Margareta Heilmann+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2012

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、古典的 Bernstein 演算子 $B_n$ を非自明な分解 $B_n = \bar{\mathbb{B}}_n \circ F_n$ として表現する。ここで $\bar{\mathbb{B}}_n$ は真の Beta 演算子であり、$F_n$ は興味深いスペクトル的およびモーメント的性質を有する非正の線形演算子である。主な貢献は、$F_n$ の逆 Beta 演算子および Jacobi 多項式による明示的表現、Voronovskaya 型漸近公式、および Cooper-Waldron 猜測との関連である。

ABSTRACT

The central problem in this technical report is the question if the classical Bernstein operator can be decomposed into nontrivial building blocks where one of the factors is the genuine Beta operator introduced by Mühlbach and Lupaş. We collect several properties of the Beta operator such as injectivity, the eigenstructure and the images of the monomials under its inverse. Moreover, we give a decomposition of the form $B_n = \bar{\mathbb{B}}_n \circ F_n $ where $F_n$ is a nonpositive linear operator having quite interesting properties. We study the images of the monomials under $F_n$, its moments and various representations. Also an asymptotic formula of Voronovskaya type for polynomials is given and a connection with a conjecture of Cooper and Waldron is established. In an appendix numerous examples illustrate the approximation behaviour of $F_n$ in comparison to $B_n$.

研究の動機と目的

• 古典的 Bernstein 演算子 $B_n$ が非自明な正の線形演算子の合成として分解可能かどうかを調査すること。
• $\bar{\mathbb{B}}_n$ が真の Beta 演算子であるとき、$B_n$ が合成 $\bar{\mathbb{B}}_n \circ F_n$ として表現可能かどうかを検討すること。
• $F_n$ が正でないにもかかわらず $B_n = \bar{\mathbb{B}}_n \circ F_n$ を満たすように、$F_n$ を特徴づけること。
• 真の Beta 演算子 $\bar{\mathbb{B}}_n$ の固有構造、モーメント、および逆の性質を分析すること。
• $F_n$ の漸近的挙動と、近似演算子に関連する関数型に関する Cooper-Waldron 猜測との関連を確立すること。

提案手法

• 微分作用素 $U_n$ の逆を用いて、分解 $B_n = \bar{\mathbb{B}}_n \circ F_n$ を構成する。$U_n$ は $\widetilde{D}^{2l}$ を含む和で定義され、単項式および固有多項式に作用する。
• 演算子 $F_n$ は明示的に $F_n f = \sum_{k=0}^n \nu_k^{(n)}(B_n f) p_k$ として表現され、ここで $p_k$ は $U_n$ の固有多項式であり、$\nu_k^{(n)}$ は Jacobi 多項式との内積から導かれる線形汎関数である。
• $U_n$ の固有多項式は $k \geq 2$ に対して $p_k(x) = D^{k-2}[x^{k-1}(1-x)^{k-1}]$ で与えられ、対応する固有値は $\omega_k^{(n)} = \frac{(n-1)!n!}{(n-k)!(n+k-1)!}$ である。
• $U_n$ の逆は $U_n^{-1}p = \sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l \frac{(n-1-l)!}{l!(n-1)!} \widetilde{D}^{2l}p$ として表現され、これにより $F_n = U_n^{-1} B_n^2$ の構成が可能になる。
• $F_n$ のモーメントは関係式 $\int_0^1 b_{n-2,k-1}(t) \varphi_{n,i}(t) dt = \frac{1}{n-1} b_{n,i}(k/n)$ を通じて分析され、ここで $\varphi_{n,i}$ は $F_n$ の基底関数である。
• 漸近的挙動は、$n \to \infty$ のとき $\nu_k^{(n)}(f) \to \int_0^1 (f(t) - Lf(t)) J_{k-2}(t) dt$ を示すことによって研究され、$Lf(x) = (1-x)f(0) + x f(1)$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的 Bernstein 演算子 $B_n$ は、真の Beta 演算子 $\bar{\mathbb{B}}_n$ と他の演算子 $F_n$ の合成として非自明に分解可能か？
• RQ2 正でない演算子 $F_n$ が $B_n = \bar{\mathbb{B}}_n \circ F_n$ を満たす場合、そのスペクトル的およびモーメント的性質は何か？
• RQ3 $F_n$ に関連する関数型 $\nu_k^{(n)}$ は $n \to \infty$ のときどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ4 $F_n$ の漸近的挙動と、近似関数型に関する Cooper-Waldron 猜測との間に関連はあるか？
• RQ5 $F_n$ の Jacobi 多項式および逆微分作用素を用いた明示的表現は何か？

主な発見

• Bernstein 演算子は、非正の線形演算子 $F_n$ を用いた非自明な分解 $B_n = \bar{\mathbb{B}}_n \circ F_n$ を持つことが保証され、$B_n$ の新たな因子分解が確立された。
• 微分作用素 $U_n$ の逆は明示的に $U_n^{-1}p = \sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l \frac{(n-1-l)!}{l!(n-1)!} \widetilde{D}^{2l}p$ として与えられ、これにより $F_n = U_n^{-1} B_n^2$ の構成が可能になった。
• $U_n$ の固有多項式は $k \geq 2$ に対して $p_k(x) = D^{k-2}[x^{k-1}(1-x)^{k-1}]$ で与えられ、固有値は $\omega_k^{(n)} = \frac{(n-1)!n!}{(n-k)!(n+k-1)!}$ であり、これらは $\widetilde{D}^{2l}$ の共通の固有多項式である。
• 関数型 $\nu_k^{(n)}$ は明示的に $\nu_0^{(n)}(f) = f(0)$、$\nu_1^{(n)}(f) = f(1) - f(0)$、$k \geq 2$ に対して $\nu_k^{(n)}(f) = (\omega_k^{(n)})^{-1} \int_0^1 (B_n f(t) - Lf(t)) J_{k-2}(t) dt$ として特徴づけられる。
• $n \to \infty$ のとき、$\nu_k^{(n)}(f) \to \int_0^1 (f(t) - Lf(t)) J_{k-2}(t) dt$ となることが確認され、Cooper-Waldron 猜測に現れる関数型に収束することが示された。
• $F_n f(x)$ の漸近公式は $F_n f(x) = Lf(x) + \sum_{k=2}^n x(1-x) J_{k-2}(x) \frac{(n-k)!(n+k-1)!}{(n-1)!n!} \int_0^1 (B_n^2 f(t) - Lf(t)) J_{k-2}(t) dt$ であり、点単位収束が $f(t) - Lf(t)$ を含む極限に一致する。