[論文レビュー] On the computation of Galois representations associated to level one modular forms

Johan Bosman|ArXiv.org|Oct 5, 2007

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ひとこと要約

この論文は、重さが22以下のレベル1のモジュラー形式および素数レベルℓ ≤ 23に対して、μを法とする射影的ガロア表現を計算し、その表現の射影的像 PGL₂(𝔽ₗ) を実現する明示的な多項式を提示する。主な貢献は、ラマヌジャンのτ(n)の非零性に関するレーマンの予想を、n < 2.28 × 10¹⁹ まで検証したことであり、前回の上限を著しく上回る。

ABSTRACT

In this paper we explicitly compute mod-l Galois representations associated to modular forms. To be precise, we look at cases with l&lt;=23 and the modular forms considered will be cusp forms of level 1 and weight up to 22. We present the result in terms of polynomials associated to the projectivised representations. As an application, we will improve a known result on Lehmer's non-vanishing conjecture for Ramanujan's tau function.

研究の動機と目的

• 重さk ≤ 22 および素数ℓ ≤ 23 であるレベル1のモジュラー形式に付随する射影的ガロア表現を表す明示的な多項式を計算すること。
• Ramanujanのτ(n)の非零性に関するLehmerの予想の検証を、従来の境界を超えて拡張すること。
• 分割体が射影的像 PGL₂(𝔽ₗ) に一致する多項式を構成することで、Serreのモジュラリティ予想に対する計算的証拠を提供すること。
• 特にℓ = 23の場合に、Jacobian J₁(ℓ)における計算的手法を用いて非例外的表現を処理すること。

提案手法

• 著者は、レベル1で重さkの正規化されたカスプ形式Δₖに付随する射影的ガロア表現˜ρ_{Δₖ,ℓ} を、ker˜ρ_{Δₖ,ℓ} の固定体に対応する多項式P_{k,ℓ} を特定することで計算する。
• 多項式P_{k,ℓ} は、計算代数システムを用いて構築され、その分割体が像PGL₂(𝔽ₗ) を実現することを根拠とする。
• 検証のため、P_{k,ℓ} が𝔽ₚ上に次数2の既約因子を持つかどうかをチェックする。これは、トレースτₖ(p) mod ℓ が対応するフロベニウス要素に対応する。
• Serreのモジュラリティ基準を適用し、τₖ(p) ≡ 0 mod ℓ を満たす素数pを同定し、これによりτ(n)の非零性の境界を拡張する。
• 例外的ケース（ℓ = k − 1 の場合）では、表現が楕円曲線のℓ-torsionとして実現され、除法多項式を用いて構造を検証する。
• 計算は、数体および有限体の算術を用いた実験的探索と検証に依拠しており、特に𝔽ₚ[x]/(P_{k,ℓ}) においてx^{p²} ≡ x かつx^p ≢ x が成り立つかを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重さk ≤ 22 およびℓ ≤ 23 であるレベル1のモジュラー形式に付随する射影的ガロア表現を実現する明示的な多項式は何か？
• RQ2 これらのガロア表現を用いて、Ramanujanのτ(n)の非零性を従来の計算的境界を超えてどのように検証できるか？
• RQ3 τ(p) ≡ 0 mod 11·13·17·19 を満たし、かつℓ-進表現におけるSerreのモジュラリティ基準を満たす素数pは何か？
• RQ4 射影的像ρ_{Δₖ,ℓ} が明示的な多項式によってPGL₂(𝔽ₗ) としてどの程度まで実現可能か？
• RQ5 特にℓ = 23の場合に、J₁(ℓ)における計算的手法を用いて、これらのガロア表現を構築および検証できるか？

主な発見

• k ∈ {12,16,18,20,22} およびℓ ≤ 23 であるすべてのペア (k,ℓ) に対して、次数ℓ + 1 の明示的多項式P_{k,ℓ} が提供され、その分割体が射影的像PGL₂(𝔽ₗ) を実現する。
• τ(n)の非零性は、すべてのn < 22,798,241,520,242,687,999 ≈ 2.28 × 10¹⁹ に対して検証され、従来の上限2 × 10¹⁶ よりも著しく向上した。
• Serreの基準とτ(p) ≡ 0 mod 11·13·17·19 を同時に満たす最初の素数は、22,798,241,520,242,687,999、60,707,199,950,936,063,999、および93,433,753,964,906,495,999 であることが判明し、境界の延長が確認された。
• ℓ = 23 の場合、Jacobian J₁(23) の次元は12であり、多項式不変量を用いて関連するガロア表現が成功裏に計算された。
• この方法により、射影的表現˜ρ_{Δₖ,ℓ} が既約であり、かつSerreの予想が要請するように、その像がPGL₂(𝔽ₗ) に一致することが確認された。
• すべてのk ∈ {12,16,18,20,22} およびℓ ≤ 23 に対して、多項式P_{k,ℓ} が明示的に表形式で提供され、今後のmod-ℓ ガロア表現の研究のための計算的ツールが得られた。