[論文レビュー] On the Computation of $\pi$-Flat Outputs for Linear Time-Delay Systems

Vincent Morio, Franck Cazaurang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2009

Numerical methods for differential equations参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、多項式行列代数を用いて、線形時変遅延系におけるπフラット出力を線形時間で計算する構成的アルゴリズムを提示する。環を𝕂(δ)[d/dt]に拡張し、Smith-Jacobson分解を適用することで、システム行列の超正則性を用いてπフラットネスを特徴づけ、ユニモジュラー変換と行列の対角化を通じて、体系的なフラット出力の計算を可能にする。

ABSTRACT

This paper deals with linear time-varying, delay systems. Extensions of the concept of differential flatness \\cite{Fliess_95} to this context have been first proposed in \\cite{Mounier_95,Fliess_96} (see also \\cite{Rudolph_03,Chyzak_05}), by the introduction of $\\pi$-flat output. Roughly speaking, it means that every system variable may be expressed as a function of a particular output $y$, a finite number of its time derivatives, time delays, and predictions, the latter resulting from the prediction operator $\\pi^{-1}$. We propose a simple and constructive algorithm for the computation of $\\pi$-flat outputs based on concepts of polynomial algebra, in particular Smith-Jacobson decomposition of polynomial matrices. Some examples are provided to illustrate the proposed methodology.

研究の動機と目的

• 線形時変遅延系におけるπフラットネスの構成的特徴づけを提供すること。
• 代数的行列分解に基づくπフラット出力の計算アルゴリズムを開発すること。
• 時間遅延およびメロモーマーク時間変動係数を有するシステムへの既存のフラットネス理論の拡張すること。
• 標準的なコンピュータ代数ツールを用いたフラット出力の実用的計算を可能にすること。

提案手法

• システムは、δが遅延演算子でd/dtが時間微分である環𝕂[δ, d/dt]における係数を有するAx = Buとしてモデル化される。
• 主イデアル整域である𝕂(δ)[d/dt]に環を拡張することで、Smith-Jacobson分解の適用が可能になる。
• Smith-Jacobson分解により、システム行列が不変因子を持つ形に対角化され、自由モジュールの特定が可能になる。
• ユニモジュラー変換を用いて、システムをモジュール構造を保存する正準形に簡約する。
• 結果を多項式π ∈ 𝕂[δ]のべきに局所化することで、予測と遅延の適切な定義を保証する。
• フラット出力は、対角化された行列から導かれるシステム変数が生成する自由モジュールの基底として構成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変動係数を有する線形時遅延系におけるπフラットネスは、どのように代数的に特徴づけられるか？
• RQ2 システム行列にどのような条件が満たされると、πフラット出力が存在するか？
• RQ3 標準的な代数的ツールを用いて、どのようにしてπフラット出力を構成的に計算できるか？
• RQ4 Smith-Jacobson分解は、πフラット出力の計算においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 𝕂(δ)への拡張は、どのようにしてフラット出力の効果的な計算を可能にするか？

主な発見

• πフラットネスは、拡張環𝕂(δ)[d/dt]におけるシステム行列の超正則性によって特徴づけられる。
• 提案されたアルゴリズムは、Smith-Jacobson分解から導かれるユニモジュラー変換の系列を通じてπフラット出力を計算する。
• この手法は、多項式的または定数係数に限られていた従来の結果を、メロモーマーク時間変動係数を有するシステムにまで拡張する。
• フラット出力の計算は、複雑なグレブナー基底技術を避けるために、主に大きな環𝕂(δ)[d/dt]上での演算に依存する。
• このアプローチにより、すべてのシステム変数がフラット出力およびその時間微分・遅延に関して明示的にパrameter化可能になる。
• この手法は、複数の遅延を有するシステムへも一般化可能であり、振動する弦モデルを用いた例で示されている。