[論文レビュー] On the computation of singular plane curves and quartic surfaces

Carlos Rito|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非通常特異点をもつ平面曲線を計算し、指定された特異点をもつ線形系をパラメトライズする2つのMagma関数、LinSys および ParSch を提示する。これらのツールを用いて、総Milnor数19でAₙ特異点をもたないℂℙ³内の9つの正規四次K3表面の明示的方程式を構成し、このような表面の分類における空白を解消する。

ABSTRACT

Two Magma functions are given: one computes linear systems of plane curves with non-ordinary singularities and the other computes a scheme which parametrizes given degree plane curves with given singularities. These functions provide an efficient tool to construct explicit equations of singular plane algebraic curves. By computing singular branch curves, we obtain equations of normal quartic surfaces in $\mathbb C\mathbb P^3$ having the following combinations of rational double points: $\mathsf D_5\mathsf E_7\mathsf E_7,$ $\mathsf D_7\mathsf D_6\mathsf D_6,$ $\mathsf E_6\mathsf D_8\mathsf D_5,$ $\mathsf E_6\mathsf D_{13},$ $\mathsf E_6\mathsf E_6\mathsf D_7,$ $\mathsf E_6\mathsf E_8\mathsf D_5,$ $\mathsf E_7\mathsf D_6\mathsf D_6,$ $\mathsf E_7\mathsf D_{12},$ $\mathsf E_7\mathsf E_6\mathsf D_6.$ These are all possible cases with total Milnor number 19 which have no point of type $\mathsf A_n.$

研究の動機と目的

• 非通常特異点をもつ代数的平面曲線を構成するための計算ツールを開発し、従来のシステムが通常特異点しか扱えないという制限を克服すること。
• ℂℙ³内の正規四次表面で、有理二重特異点を特異点としてもつ方程式を構成的に計算する方法を提供すること。
• 総Milnor数19でAₙ特異点をもたない非Aₙ有理二重特異点の9通りの配置を、これまで抽象的にしか知られていなかったものを明示的に実現すること。
• 指定された特異点、特に無限に近い点や接線方向を含む線形系を計算するための効率的なアルゴリズムをMagmaに実装すること。
• 従来の非構成的分類を超えて、9つの特定のK3表面構成の明示的方程式を構成することで、この方法を実証すること。

提案手法

• 非通常特異点を指定した平面曲線の線形系を計算するためのLinSys関数を導入し、複雑な特異点を扱うために反復的な吹き上げと吹き戻しを用いる。
• 指定された点に特異点（無限に近い点や接線方向を含む）をもつ曲線をパラメトライズするスキームを計算するためのParSch関数を用いる。
• 四次表面に二重点があるとき、その表面が特異な平面曲線を分岐曲線とするℂℙ²への二重被覆であるという幾何的構成を用い、表面と曲線の計算を結びつける。
• Magmaにおける代数幾何の機能を活用して関数を実装し、吹き上げと吹き戻しの過程での座標変換を注意深く処理する。
• 関数を用いて二重被覆の分岐locus（特異平面曲線）を計算し、その後、二重被覆構成を用いて表面方程式に持ち上げる。
• 次元制約のチェックとスキームパラメトライズATIONの使用により、特異点が特別な位置にあるか、存在しないことを検出することで、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂℙ³内の正規四次表面に、総Milnor数19でAₙ特異点をもたない有理二重特異点のどの配置が現れる可能性があるか。
• RQ2 このような特異点をもつ四次表面の明示的方程式を計算するためのアルゴリズム的かつ構成的メソッドを開発できるか。
• RQ3 Magmaのような計算代数システムは、平面曲線の線形系における非通常特異点をどのように拡張して扱えるか。
• RQ4 指定された特異点（無限に近い点や接線方向を含む）をもつ曲線のスキームの構造はどのようなものか。
• RQ5 この方法は、Aₙ特異点をもつ他のK3表面構成のための方程式の構成に一般化可能か。

主な発見

• 本稿では、総Milnor数19でAₙ特異点をもたないℂℙ³内の9つの正規四次K3表面の明示的方程式を構成した：D₅E₇E₇、D₇D₆D₆、E₆D₈D₅、E₆D₁₃、E₆E₆D₇、E₆E₈D₅、E₇D₆D₆、E₇D₁₂、E₇E₆D₆。
• これらの9つの構成は、総Milnor数19でAₙ特異点をもたないものの中で唯一のものであり、このような表面の洗練された分類を確認した。
• Magma関数LinSysとParSchは、無限に近い点や指定された接線方向を含む非通常特異点をもつ曲線を正しく計算できた。
• この方法により、特異な平面曲線からの二重被覆構成を用いて、四次表面の方程式を構成できるようになった。
• このアプローチは一般性を持ち、A₁₇A₁A₁のような他の構成に対しても適用可能であるが、本研究ではすべてのケースを計算したわけではない。
• 実装は、従来の非構成的メソッド（例：Urabeのもの）の制限を克服し、以前は知られていなかった明示的方程式を提供した。