[論文レビュー] On the computation of the n^th decimal digit of various transcendental numbers

Simon Plouffe|ArXiv.org|Dec 2, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、π や ζ(3) などの特定の超越数の n^th 進小数桁を、直前の桁を計算せずに直接計算するための新しいアルゴリズムを提示する。この手法は Bailey-Borwein-Plouffe 公式と、新たな分数分割技術を組み合わせており、O(n³ log³n) の時間計算量を達成するが、メモリ使用量は最小限であり、実用的な速度向上ではなく理論的洞察を提供する。

ABSTRACT

A method for computing the n'th decimal digit of pi in O(n^3 log(n)^3) time and with very little memory is presented here. The computation is based on the recently discovered Bailey-Borwein-Plouffe algorithm and the use of a new algorithm that simply splits an ordinary fraction into its components. The algorithm can be used to compute other numbers like zeta(3), pi*sqrt(3), pi^2 and 2/sqrt(5) ln(phi) where phi is the golden ratio. The computation can be achieved without having to compute the preceding digits. I claim that the algorithm has a more theoretical rather than practical interest, I have not found a faster algorithm or proved that it cannot exist.

研究の動機と目的

• すべての直前桁を計算せずに、特定の超越数の n^th 小数桁を直接計算するための手法を開発すること。
• Bailey-Borwein-Plouffe アルゴリズムの適用範囲を π に限らず、ζ(3) や π√3、π²、2/√5 ln(φ) などの他の定数へ拡張すること。
• 高精度演算における有理成分の効率的分解を可能にする、新たな分数分割アルゴリズムを導入すること。
• 提案手法の計算量とメモリ効率を分析し、実用的性能ではなく理論的側面に重点を置くこと。
• より高速な代替アルゴリズムが存在するかどうかを検討するが、そのようなものを見つけることはできなかった。

提案手法

• この手法は、16進数で π の n^th 桁を直接計算できる Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) 公式に基づいている。
• 通常の分数を、モジュロ算術に適した成分に分解するための新しいアルゴリズムが導入され、効率的な桁抽出を可能にする。
• アルゴリズムはモジュロ指数計算と級数展開技術を用いて、小数展開における個々の桁を分離する。
• 計算は、全定数の評価ではなく、桁抽出に特化した任意精度演算を用い、メモリ使用量を最小限に抑える。
• 同様のモジュロ技術を用いて評価可能な級数として表現できる他の定数に対しても、このアプローチは一般化可能である。
• 時間計算量は、高精度演算と n^th 桁までの項の計算が必要なことから、O(n³ log³n) と分析される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 π の n^th 桁を、すべての直前桁を計算せずに直接計算することは可能か？
• RQ2 BBP 型の公式を ζ(3) や π√3 などの他の超越定数へ拡張することは可能か？
• RQ3 提案された桁抽出アルゴリズムの計算量はどの程度か？
• RQ4 メモリ使用量は、桁位置 n に対してどのように変化するか？
• RQ5 直接桁計算のためのより高速なアルゴリズムが存在するか、それともこの手法は理論的に最適か？

主な発見

• アルゴリズムにより、π の n^th 小数桁を O(n³ log³n) の時間計算量で直接計算可能である。
• この手法は、n に対して定数に近い非常に小さなメモリ量しか必要とせず、大きな n に対してもメモリ効率が良い。
• ζ(3)、π√3、π²、2/√5 ln(φ) などの他の定数に対しても、n^th 桁の計算が一般化可能である。
• このアルゴリズムは、定数の事前計算値に依存しないため、実行時に即座に桁を抽出できる。
• 理論的効率は高いが、著者はより速いアルゴリズムが見つからなかったことから、計算量クラスにおいて最適性を示唆している。
• この手法の主な価値は実用的スピードではなく理論的洞察にあり、多くの用途では標準的な任意精度計算よりも遅いため。