[論文レビュー] On the Concentration of the Domination Number of the Random Graph

Roman Glebov, Anita Liebenau+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、エッジ確率 p ≫ ln²n/√n の Erdős-Rényi ランダムグラフ 𝒢(n,p) に対して、支配数が漸近的にほとんど確実に二つの連続する整数、具体的には ⌊r̂⌋+1 および ⌊r̂⌋+2 に集中することを確立している。ここで r̂ は支配集合の一次モーメント閾値から導かれる。この結果は Wieland と Godbole の先行研究を拡張し、集中が発生する正確な閾値を同定するとともに、より小さい p に対しては非集中であることを示しており、p の下界の必要性を強調している。

ABSTRACT

In this paper we study the behaviour of the domination number of the Erdős-Rényi random graph $\mathcal{G}(n,p)$. Extending a result of Wieland and Godbole we show that the domination number of $\mathcal{G}(n,p)$ is equal to one of two values asymptotically almost surely whenever $p \gg \frac{\ln^2n}{\sqrt{n}}$. The explicit values are exactly at the first moment threshold, that is where the expected number of dominating sets starts to tend to infinity. For small $p$ we also provide various non-concentration results which indicate why some sort of lower bound on the probability $p$ is necessary in our first theorem. Concentration, though not on a constant length interval, is proven for every $p\gg 1/n$. These results show that unlike in the case of $p \gg \frac{\ln^2n}{\sqrt{n}}$ where concentration of the domination number happens around the first moment threshold, for $p = O(\ln n/n)$ it does so around the median. In particular, in this range the two are far apart from each other.

研究の動機と目的

• Wieland と Godbole が支配数の二点集中結果を 𝒢(n,p) に対して得たのを、より広い範囲のエッジ確率 p にまで拡張すること。
• 支配数が漸近的にほとんど確実に二つの連続する値に集中する正確な閾値 p を特定すること。
• このような集中が小さい p に対しては成立しない理由を解明し、p に下界が必要な理由を明らかにすること。
• p = O(ln n / n) の場合における支配数の振る舞いを分析し、中央値ではなく一次モーメント閾値の周りに集中することを示すこと。
• p ≪ ln²n/√n の場合に非集中を示し、p ≫ ln²n/√n の下界が多対数的要因を除いてタイトであることを示すこと。

提案手法

• 支配集合のサイズ r̂ における期待値が 0 に近づくか ∞ に近づくかの遷移が発生する一次モーメント閾値 r̂(n,p) を導出する。
• 一次モーメントおよび二次モーメント法を用いて、サイズ r̂ の支配集合が存在する確率を評価し、二つの値への集中を示す。
• 二項係数に対するエントロピーに基づく評価と対数近似を用いて、支配集合の期待数を制御する。
• 二項分布のエントロピー関数 H(x) と生存確率 (1 - (1-p)^k) の相互作用を分析し、サイズ k の支配集合の期待数を評価する。
• 漸近的展開と o(1) の誤差項を用いて、特に p ≫ ln ln n / √n の場合に集中区間の長さを精緻化する。
• 小さい p に対して非集中を証明する。期待値が広い区間で大きく保たれることを示し、任意の定数長区間への集中を防ぐ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支配数 D(G) が 𝒢(n,p) において漸近的にほとんど確実に二つの連続する整数に集中するのは、どの範囲の p に対して成立するか？
• RQ2 期待値が ∞ に近づき始める最初の点 r̂ における支配集合のサイズは何か？ そしてこれは集中にどのように関係するか？
• RQ3 なぜ二点集中のためには p に下界が必要なのか？ また、p が小さすぎる場合には何が起こるのか？
• RQ4 p = O(ln n / n) の場合、支配数の集中行動は中央値と一次モーメント閾値のどちらに近いか？ また、その違いは何か？
• RQ5 p ≪ ln²n/√n の場合に非集中を証明できるか？ また、p ≫ ln²n/√n の下界は多対数的要因を除いてタイトか？

主な発見

• p ≫ ln²n/√n の場合、支配数 D(G) は漸近的にほとんど確実に ⌊r̂⌋+1 または ⌊r̂⌋+2 のいずれかに等しくなる。ここで r̂ = log_q(n ln q / ln²d (1+o(1))) である。
• r̂ は一次モーメント閾値であり、サイズ r̂ の支配集合の期待値が初めて ∞ に近づき始める点を示している。
• p = Θ(1/n) の場合、支配数は任意の定数長区間には集中しないが、任意の f(n) → ∞ に対して √n f(n) の長さの区間には集中する。
• p ≪ ln²n/√n の場合、支配数は r̂ の周囲の任意の定数長区間へも集中しない。これは、下界が多対数的要因を除いてタイトであることを示している。
• p = O(ln n / n) の場合、集中は一次モーメント閾値ではなく中央値の周囲に発生し、二つの値は互いに大きく離れている。
• 論文は、p ≥ c/n かつ c > 0 の場合、サイズ k の支配集合の期待値が 2^{f(c_k)n} で有界であることを示しており、f(x) は正の最大値を唯一つ持つ関数である。このため、f(x) が鋭く鋭くピークしていない場合には非集中が生じる。