[論文レビュー] On the concordance orders of knots

Julia Collins|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本学位論文は、トポロジカルなコヒュージョン群 𝒞 内の結び目のコヒュージョン位数を特定するため、ねじれたアレクサンダー多項式および2次不変量を用いた計算的手法を開発する。無限位数を検出する基準を確立し、12交差以下の325個の素数結び目のうち2つを除くすべての位数を計算し、9交差の素数結び目の完全分類を提供するとともに、無名結び目のn重ねじれ倍加（n-twisted double）がn ≠ 0,2のときスライスでないことを証明する。

ABSTRACT

This thesis develops some general calculational techniques for finding the orders of knots in the topological concordance group C. The techniques currently available in the literature are either too theoretical, applying to only a small number of knots, or are designed to only deal with a specific knot. The thesis builds on the results of Herald, Kirk and Livingston [HKL10] and Tamulis [Tam02] to give a series of criteria, using twisted Alexander polynomials, for determining whether a knot is of infinite order in C. There are two immediate applications of these theorems. The first is to give the structure of the subgroups of the concordance group C and the algebraic concordance group G generated by the prime knots of 9 or fewer crossings. This should be of practical value to the knot-theoretic community, but more importantly it provides interesting examples of phenomena both in the algebraic and geometric concordance groups. The second application is to find the concordance orders of all prime knots with up to 12 crossings. At the time of writing of this thesis, there are 325 such knots listed as having unknown concordance order. The thesis includes the computation of the orders of all except two of these. In addition to using twisted Alexander polynomials to determine the concordance order of a knot, a theorem of Cochran, Orr and Teichner [COT03] is applied to prove that the n-twisted doubles of the unknot are not slice for n not 0 or 2. This technique involves analysing the `second-order' invariants of a knot; that is, slice invariants (in this case, signatures) of a set of metabolising curves on a Seifert surface for the knot. The thesis extends the result to provide a set of criteria for the n-twisted double of a general knot K to be slice; that is, of order 0 in C.

研究の動機と目的

• トポロジカルなコヒュージョン群 𝒞 内の結び目のコヒュージョン位数を特定するための一般的かつ計算可能な基準を開発すること。
• 9交差以下のすべての素数結び目の代数的および幾何学的コヒュージョン類の分類をすること。
• 12交差以下のすべての素数結び目のコヒュージョン位数を特定し、これまで未解決であった大部分の事例を解消すること。
• 任意の結び目のn重ねじれ倍加に対する2次スライス障害を拡張し、無名結び目の場合にn ≠ 0,2のとき非スライスであることを証明すること。
• 広範な結び目のクラスに適用可能な実用的な計算フレームワークを提供し、特殊な方法に依存しないこと。

提案手法

• メタアーベル表現に関連するねじれたアレクサンダー多項式を用いて、コヒュージョン群内の無限位数要素を検出する。
• Casson-Gordon不変量およびSeifert面における代謝的曲線からの2次符号数を適用し、スライス性の障害を検出する。
• Witt群不変量およびℝおよびℚₚ上の局所不変量を用いて、代数的コヒュージョン類を分析する。
• 計算代数とトポロジカル構成（例：スライスムービー）を組み合わせ、特定の結び目の位数2を検証する。
• 2重被覆の1次ホモロジー群 H₁(Σ₂; ℤ) およびリンク形式の構造を用いて不変量を計算する。
• Cochran, Orr, Teichnerの2次不変量に関する定理を応用し、結び目のn重ねじれ倍加を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルなコヒュージョン群内のどの結び目が無限位数を持ち、その検出をアルゴリズム的に可能にするか？
• RQ2 9交差以下のすべての素数結び目の完全なコヒュージョン分類とは何か？
• RQ3 無名結び目のn重ねじれ倍加がスライスであるのはどのようなn値のときか？また、非スライス性を検出する不変量は何か？
• RQ4 2次不変量を用いて一般の結び目のn重ねじれ倍加のコヒュージョン位数を特定できるか？
• RQ5 12交差以下の325個の素数結び目のそれぞれのコヒュージョン位数は何か？未解決のものはいくつ残っているか？

主な発見

• 本論文は、12交差以下の325個の素数結び目の中から2つを除くすべての結び目のコヒュージョン位数を計算し、これまで未解決であった大部分の事例を解消した。
• コヒュージョン群 𝒞 および9交差以下の素数結び目によって生成される代数的コヒュージョン群 𝒢 の部分群の完全な分類を提供した。
• n ≠ 0,2 のとき、無名結び目のn重ねじれ倍加が非スライスであることを、2次符号数障害を用いて証明した。
• 任意の結び目Kのn重ねじれ倍加に対する2次スライス障害を拡張し、このような結び目が 𝒞 内で位数0であるための基準を提示した。
• 11a₅ や 4₁ などの結び目に対して、明示的なスライスムービーを構成し、サドル移動によって分離された無名結び目および位数2の結び目が得られることを確認し、それらが位数2であることを裏付けた。
• 9₈、9₂₃、9₃₂ などの特定の結び目について、非スライスなねじれたアレクサンダー多項式および非平方リンク形式を同定し、それらが無限位数であることを確認した。