[論文レビュー] On the condition number and perturbation of matrix functions for Hermitian matrices

Elias Jarlebring, Emanuel H. Rubensson|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2012

Matrix Theory and Algorithms参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ヘルミート行列上の行列関数 f(A) の摂動に対する新しい境界を導出し、||f(A+E)−f(A)|| を A および A+E の固有値の関数として表現する。構造的絶対条件数を導入し、任意のユニタリ不変ノルムに対して有効な結果を提供しており、電子構造理論における誤差解析への応用を含む。

ABSTRACT

Consider a matrix function f defined for Hermitian matrices. The purpose of this paper is two-fold. We derive new results for the absolute structured condition number of the matrix function and we derive new bounds for the perturbation ||f(A+E)-f(A)|| expressed in terms of eigenvalues of A and A+E. The results are general and under certain conditions hold for an arbitrary unitarily invariant matrix norm ||\cdot||. We illustrate the use of the formulas with an application to the error analysis of calculations in electronic structure theory.

研究の動機と目的

• ヘルミート行列上の行列関数の絶対的構造的条件数に関する新しい結果を導出すること。
• A および A+E の固有値に基づいて、摂動 ||f(A+E)−f(A)|| の新しい境界を確立すること。
• 結果が任意のユニタリ不変行列ノルムに対して成り立つようにすること。
• 導出された公式を電子構造理論における誤差解析に応用すること。

提案手法

• ヘルミート行列上に定義された行列関数 f に対する絶対的構造的条件数を導出すること。
• ヘルミート行列のスペクトル性質を用いて、摂動を固有値の差の関数として表現すること。
• ユニタリ不変ノルムを用いることで、行列ノルムの一般性を保つこと。
• 行列摂動理論を用いて、f(A+E)−f(A) を固有値の変動に関連付けること。
• ヘルミート行列の関数計算を用いて f(A) および f(A+E) を定義すること。
• A および A+E の固有値に明示的に依存する境界を確立し、異なるノルムタイプへの適用可能性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘルミート行列に対して、行列関数 f の絶対的構造的条件数はどのように特徴付けられるか？
• RQ2 A および A+E の固有値に基づいて、||f(A+E)−f(A)|| のタイトな境界は何か？
• RQ3 ユニタリ不変ノルムは、行列関数の摂動境界にどのように影響するか？
• RQ4 これらの境界は、電子構造計算における誤差解析をどのように改善できるか？
• RQ5 導出された境界は、どのような条件下で異なる行列ノルムに対して一様に成り立つか？

主な発見

• 本論文は、A および A+E の固有値に明示的に依存する ||f(A+E)−f(A)|| の新しい境界を確立した。
• 導出された絶対的構造的条件数は、任意のユニタリ不変行列ノルムに適用可能である。
• 結果は一般性を保ち、行列関数 f や摂動 E に対してやや弱い仮定のもとで成り立つ。
• 境界が、特に量子化学計算における誤差推定において有効であることが示された。
• この枠組みにより、ヘルミート行列設定における行列関数の感度の定量的分析が可能になった。