[論文レビュー] On the condition of conversion of classical probability distribution families into quantum families

Keiji Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、完全正則トレース保存（CPTP）写像を介して、古典的確率分布族を量子密度演算子族に変換するための必要十分条件を確立する。最大量子f-発散度 $ D_f^{\max} $ を導入し、その性質がこのような変換に必要な最小古典f-発散度を特徴づける。また、CPTP写像の存在にあたってfの作用凸性が本質的であることを証明し、量子統計的区別可能性と古典的情報測度の間の関係を明確にする。

ABSTRACT

The purpose of the paper is to study the condition for a probability distribution family to a quantum state family. This is an (relatively) easy example of quantum version of "comparison of statistical experiments", which had turned out to supply deep insight into the foundation of classical and quantum statistics \cite{Strasser}\cite{Torgersen}. It turns out use of maximal quantum $f$-divergence is useful in characterizing the classical-quantum transformability.

研究の動機と目的

• 古典的確率分布族がCPTP写像を介して量子密度演算子族に変換可能であるための必要十分条件を特定すること。
• 与えられた量子統計的モデルを模倣するために必要な最小古典f-発散度を特徴づけ、f-発散度の量子版を導入すること。
• 最大f-発散度 $ D_f^{\max} $ を通じて、量子統計的区別可能性と古典的情報測度の間の関係を確立すること。
• このようなCPTP写像の存在を保証するための作用凸性の役割を明確にすることにより、量子情報理論と古典的発散度理論の接点を明らかにすること。

提案手法

• CPTP写像と入力分布が目的の量子状態を生成するようなすべての組み合わせに対して、古典f-発散度の下界として最大量子f-発散度 $ D_f^{\max}(\sigma_0||\sigma_1) $ を定義する。
• Naimark拡張定理を用いてCPTP写像を等長作用素と射影子で表現し、作用素代数の観点から最小化問題を再定式化する。
• fが作用凸である場合の $ D_f^{\max} $ の明示的表現を導出する：$ \mathrm{tr}\,\sigma_1 f(\sigma_1^{-1/2} \tilde{\sigma}_0 \sigma_1^{-1/2}) + (1 - \mathrm{tr}\,\tilde{\sigma}_0) \lim_{\lambda\to\infty} f(\lambda)/\lambda $、ここで $ \tilde{\sigma}_0 $ は $ \sigma_0 $ と $ \sigma_1 $ の間のシュール補行列である。
• CPTP写像によるf-発散度のモノトニシティを用いて、任意の有効な量子f-発散度が $ D_f^{\max} $ によって上から抑えられることを示す。
• すべての等長作用素Vに対して $ f(V^\dagger d' V) \leq V^\dagger f(d') V $ が成り立つのは、fが作用凸である場合に限ることを応用し、CPTP写像の存在に必要な条件を導出する。
• 二値パrameter空間のケースを分析し、反例を構築することで、すべての作用凸fに対して $ D_f^{\max} $ を用いた条件が、追加の制約が満たされない限り十分でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、古典的確率分布族がCPTP写像を介して量子密度演算子族に変換可能となるか？
• RQ2 古典的から量子的への変換の文脈において、最大量子f-発散度 $ D_f^{\max} $ は古典f-発散度とどのように関係するか？
• RQ3 fの作用凸性が、このような変換に適したCPTP写像の存在を決定づける役割を果たすのはどのような点か？
• RQ4 与えられた量子モデルを模倣するために必要な最小古典f-発散度を明示的に特徴づけることができるか？
• RQ5 すべての作用凸fに対して $ D_f^{\max} $ を用いた条件は、CPTP写像の存在を保証するのに十分か？

主な発見

• すべての $ \theta \in \{0,1\} $ に対して $ \Gamma(p_\theta) = \sigma_\theta $ を満たすCPTP写像 $ \Gamma $ の存在の必要十分条件は、$[0,\infty)$ 上のすべての作用凸関数fに対して $ D_f^{\max}(\sigma_0||\sigma_1) \leq D_f(p_0||p_1) $ が成り立つことである。
• 最大量子f-発散度 $ D_f^{\max}(\sigma_0||\sigma_1) $ は、明示的に $ \mathrm{tr}\,\sigma_1 f(\sigma_1^{-1/2} \tilde{\sigma}_0 \sigma_1^{-1/2}) + (1 - \mathrm{tr}\,\tilde{\sigma}_0) \lim_{\lambda\to\infty} f(\lambda)/\lambda $ として与えられ、ここで $ \tilde{\sigma}_0 $ は $ \sigma_0 $ と $ \sigma_1 $ の間のシュール補行列である。
• すべての作用凸fに対して $ D_f^{\max} $ を用いた条件は、反例（立方曲線と代数的凸性制約）を用いて、CPTP写像の存在を保証するには十分でないことが示された。
• すべての等長作用素Vに対して不等式 $ f(V^\dagger d' V) \leq V^\dagger f(d') V $ が成り立つのは、fが作用凸である場合に限る。これは、最小化が $ D_f^{\max} $ によって上界で抑えられるために必要不可欠である。
• RLDフィッシャー情報量と量子相対エントロピーのバージョンは、それぞれ与えられた量子モデルを模倣するために必要な最小古典フィッシャー情報量とエントロピーとして、運用的に特徴づけられる。
• 本稿では、$ D_f^{\max} $ が可換な場合に古典f-発散度と一致する最小の量子f-発散度であり、CPTP写像に対してモノトニックであることを示している。