[論文レビュー] On the Conditional Distribution of the Multivariate $t$ Distribution

Peng Ding|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2016

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、潜在スケーリング変数 q を用いた正規混合表現を用いて、多変量スチューデントt分布の条件付き分布が自身でも多変量t分布であることを、透明で直感的な証明を提供する。X₁ が与えられたもとで、X₂ は場所、尺度、および自由度 ν + p₁ が更新された多変量t分布に従うことが示される。

ABSTRACT

As alternatives to the normal distributions, $t$ distributions are widely applied in robust analysis for data with outliers or heavy tails. The properties of the multivariate $t$ distribution are well documented in Kotz and Nadarajah's book, which, however, states a wrong conclusion about the conditional distribution of the multivariate $t$ distribution. Previous literature has recognized that the conditional distribution of the multivariate $t$ distribution also follows the multivariate $t$ distribution. We provide an intuitive proof without directly manipulating the complicated density function of the multivariate $t$ distribution.

研究の動機と目的

• 多変量t分布の条件付き分布がt分布でないという、長年の文献における誤解を是正すること。
• 複雑な密度の操作に依存せずに、明快で直感的な条件付き分布の性質の証明を提供すること。
• 条件付き分布が場所、尺度、自由度の更新を伴ってもt分布の形を保つこと、特に自由度が増加することを示すこと。
• 特に重い尾を持つデータを扱う階層的およびベイズ的枠組みにおいて、その影響を強調すること。

提案手法

• 多変量t分布を表すために、X = μ + Σ¹ᐟ²Z / √q という正規混合表現を用いる。ここで Z ~ N(0, I) かつ q ~ χ²(ν)/ν である。
• 潜在変数 q を条件付きにして、X₁ と q が与えられたもとでの X₂ の条件付き分布を、多変量正規分布の性質を活用して導出する。
• データ増幅フレームワークを用いて、X₁ が与えられたもとの q の条件付き分布を統合することで、全確率の法則を適用する。
• 再パラメータライゼーションとスケール調整により、得られた形が多変量t分布として識別できるようにすることで、最終的な条件付き分布を導出する。
• 標準化された残差が X₁ と独立であることを示すために、スケーリング係数 √((ν + p₁)/(ν + d₁)) を導入する。これにより、重要な構造的性質が明らかになる。
• 条件付き分散共分散行列を正しく表現するため、Σ₂₂|₁ をシュール補余（Schur complement）として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コツとナダラジャハ（2004）の主張とは対照的に、多変量t分布の条件付き分布も多変量t分布であるか？
• RQ2 複雑な多変量t密度関数の直接的な操作なしに、条件付き分布を導出できるか？
• RQ3 条件付き分布の更新されたパラメータ（場所、尺度、自由度）は何か？
• RQ4 X₁ と変換された残差の間には独立性が成立するか？その条件は何か？
• RQ5 特に自由度の観点から、条件付き分布の尾の挙動は元の分布とどのように異なるか？

主な発見

• X₁ が与えられたもとでの X₂ の条件付き分布は、場所パラメータ μ₂|₁ = μ₂ + Σ₂₁Σ₁₁⁻¹(X₁ − μ₁) の多変量t分布である。
• 条件付き分布の尺度行列は、(ν + d₁)/(ν + p₁) の係数でスケーリングされる。ここで d₁ = (X₁ − μ₁)ᵀΣ₁₁⁻¹(X₁ − μ₁) である。
• 条件付き分布の自由度は ν から ν + p₁ に増加し、尾の重さが軽減される。
• 標準化された残差 √((ν + p₁)/(ν + d₁))(X₂ − μ₂|₁) は、X₁ が与えられたもとで、場所 0、尺度行列 Σ₂₂|₁、自由度 ν + p₁ の多変量t分布に従う。
• X₁ と変換された残差 √((ν + p₁)/(ν + d₁))(X₂ − μ₂|₁) は独立である。これは元の多変量t分布からはすぐに明らかではない性質である。
• ν = 1（多変量コーシー分布）の場合、周辺平均は存在しないが、条件付き分布における自由度の増加のおかげで、条件付き平均は存在する。