[論文レビュー] On the conection between the Liouville equation and the Schrodinger equation

Edelver Carnovali, H. M. França|ArXiv.org|Dec 6, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、作用量の小さなパラメータ $\alpha$ を用いたウィグナー型フーリエ変換を用いて、位相空間における古典的リウヴィル方程式から古典的シュレーディンガー型方程式を導出する。$\alpha = \hbar$ のとき、古典的確率振幅 $\Psi(x,t)$ に対する方程式は、標準的なシュレーディンガー方程式と形式的に同一となる。これは、波粒二重性や量子論の基礎的仮定を導入することなく、古典的統計力学と量子力学の間の数学的ブリッジを確立する。

ABSTRACT

We derive a classical Schrodinger type equation from the classical Liouville equation in phase space. The derivation is based on a Wigner type Fourier transform of the classical phase space probability distribution, which depends on an arbitrary constant $α$ with dimension of action. In order to achieve this goal two requirements are necessary: 1) It is assumed that the classical probability amplitude $Ψ(x,t)$ can be expanded in a complete set of functions $Φ_n(x)$ defined in the configuration space; 2) the classical phase space distribution $W(x,p,t)$ obeys the Liouville equation and is a real function of the position, the momentum and the time. We show that the constant $α$ appearing in the Fourier transform of the classical phase space distribution, and also in the classical Schrodinger type equation, has its origin in the spectral distribution of the vacuum zero-point radiation, and is identified with the Planck's constant $\hbar$.

研究の動機と目的

• 任意の非線形ポテンシャル $V(x)$ に対して、古典的リウヴィル方程式とシュレーディンガー方程式の間の数学的接続を確立すること。
• リウヴィル方程式に従う古典的位相空間確率分布 $W(x,p,t)$ が、シュレーディンガー型方程式を満たす古典的確率振幅 $\Psi(x,t)$ を生じうることを示すこと。
• 小さな作用量パラメータ $\alpha$ を導入したとき、シュレーディンガー型方程式が自然に出現することを示し、$\alpha = \hbar$ のとき標準的な量子形になること。
• この導出において波粒二重性の原理は必要ではなく、古典的確率振幅 $\Psi(x,t)$ がド・ブロイのパイロットウェーブと関連付けられていないことを明確にすること。

提案手法

• 作用量の次元を持つ小さなパラメータ $\alpha$ を用いたウィグナー型フーリエ変換を、古典的位相空間分布 $W(x,p,t)$ に適用する。
• $|\Psi(x,t)|^2 = \int dp\, W(x,p,t)$ により、古典的確率振幅 $\Psi(x,t)$ を定義し、配置空間における正定値確率密度を保証する。
• $\Psi(x,t)$ が配置空間における完全な関数系 $\Phi_n(x)$ の展開として可能であると仮定する。
• リウヴィル方程式を用いて $\Psi(x,t)$ に関する微分方程式を導出し、$y \to 0$ の極限で平均値の定理を適用することで、シュレーディンガー型方程式に到達する。
• 得られた方程式は $i\alpha \frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = \left[ \frac{1}{2M}\left(-i\alpha \frac{\partial}{\partial x}\right)^2 + V(x) \right]\Psi(x,t)$ であり、形式的にシュレーディンガー方程式と同一である。
• $\alpha$ は、微視的現象との整合性および対応原理に基づき、プランク定数 $\hbar$ と同一視される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相空間における古典的リウヴィル方程式が、配置空間における古典的確率振幅 $\Psi(x,t)$ に対してシュレーディンガー型方程式を生成できるか？
• RQ2 任意の非線形ポテンシャル $V(x)$ に対して、リウヴィル方程式からシュレーディンガー型方程式を導出するための数学的条件は何か？
• RQ3 小さな作用量パラメータ $\alpha$ の導入がどのようにシュレーディンガー方程式の出現をもたらし、$\alpha$ の物理的意味は何か？
• RQ4 なぜ標準的ウィグナータンスフォームはすべての量子状態に対して正定値の位相空間分布を生成しないのか？この導出はその問題をどのように回避するか？
• RQ5 古典的統計力学からシュレーディンガー方程式を導出する際に波粒二重性の原理は必要か？

主な発見

• パラメータ $\alpha = \hbar$ のとき、古典的確率振幅 $\Psi(x,t)$ に対する導出方程式は、形式的にシュレーディンガー方程式と同一である。
• 古典的確率振幅 $\Psi(x,t)$ は実在の数学的対象であり、$|\Psi(x,t)|^2$ は配置空間における周辺確率密度を表し、ボルンの法則と整合的である。
• この導出は波粒二重性の原理を必要とせず、古典的振幅 $\Psi(x,t)$ はド・ブロイのパイロットウェーブと関連付けられていない。
• 初期条件 $\Psi(x,t) = \Phi_n(x)e^{-i\epsilon_n t / \alpha}$ の下で、固有値方程式 $\left[ \frac{1}{2M}\left(-i\alpha \frac{\partial}{\partial x}\right)^2 + V(x) \right]\Phi_n(x) = \epsilon_n \Phi_n(x)$ が回復され、標準的量子力学と整合的であることが示される。
• リウヴィル方程式とシュレーディンガー方程式の関係は、任意のポテンシャル $V(x)$ に対して有効であり、以前の二次ポテンシャルに制限された結果を一般化する。
• $\alpha$ は、微視的現象との整合性に基づき $\hbar$ と同一視され、形式的枠組みは自然に三次元に拡張可能である。