[論文レビュー] On the Configuration-LP for Scheduling on Unrelated Machines

José Verschae, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2010

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 18被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、無作為なマシンにおけるスケジューリングのための構成LPPの整数性ギャップを調査し、無作為グラフバランス問題においてそれが2であることを証明している。これは、制限付き割り当ての場合にはギャップが33/17未満であるのとは対照的である。また、MaxMinバランス問題に対する組合せ的2近似アルゴリズムを提示しており、既知の最良の近似因子を達成し、従来のLPに基づく手法を改善している。

ABSTRACT

One of the most important open problems in machine scheduling is the problem of scheduling a set of jobs on unrelated machines to minimize the makespan. The best known approximation algorithm for this problem guarantees an approximation factor of 2. It is known to be NP-hard to approximate with a better ratio than 3/2. Closing this gap has been open for over 20 years. The best known approximation factors are achieved by LP-based algorithms. The strongest known linear program formulation for the problem is the configuration-LP. We show that the configuration-LP has an integrality gap of 2 even for the special case of unrelated graph balancing, where each job can be assigned to at most two machines. In particular, our result implies that a large family of cuts does not help to diminish the integrality gap of the canonical assignment-LP. Also, we present cases of the problem which can be approximated with a better factor than 2. They constitute valuable insights for constructing an NP-hardness reduction which improves the known lowerbound. Very recently Svensson [22] studied the restricted assignment case, where each job can only be assigned to a given set of machines on which it has the same processing time. He shows that in this setting the configuration-LP has an integrality gap of 33/17≈1.94. Hence, our result imply that the unrelated graph balancing case is significantly more complex than the restricted assignment case. Then we turn to another objective function: maximizing the minimum machine load. For the case that every job can be assigned to at most two machines we give a purely combinatorial 2-approximation which is best possible, unless P=NP. This improves on the computationally costly LP-based (2 +ε)-approximation algorithm by Chakrabarty et al. [7].

研究の動機と目的

• 無作為グラフバランス問題における構成LPPの整数性ギャップを特定すること。
• 無作為グラフバランスと制限付き割り当てケースの複雑さを比較すること。
• MaxMinバランス問題のより優れた近似アルゴリズムを開発すること。
• より良い近似因子が達成可能な扱いやすい特殊ケースを探索すること。

提案手法

• 構成LPPが無作為グラフバランスにおいて整数性ギャップ2を有することを示すために、LP解が最適整数解の半分にしかならないようなインスタンスの族を構築する。
• 2台のマシンに割り当て可能なジョブに基づく二部グラフの頂点色分けを用いた、MaxMinバランスのための組合せ的2近似アルゴリズムを導入する。
• 目標負荷Tを満たすために、特定のマシンに割り当てられなければならないジョブを固定するための事前割り当てフェーズを採用する。
• ジョブが2台のマシンに割り当て可能であるか、または同じマシン上の連続するジョブを結ぶエッジを含むグラフ構築を行い、二部グラフを形成する。
• グラフに2色塗り分けを適用して、各マシンがその有効セット内の残りのジョブの重みの少なくとも半分を受信するようにジョブを割り当てる。
• LSTラウンドリング手法を変更して、MaxMin割り当てのための半整数解を生成し、負荷損失が定数倍に抑えられることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無作為グラフバランス問題における構成LPPの整数性ギャップは何か？
• RQ2 無作為グラフバランスの整数性ギャップは、制限付き割り当て問題のそれと比べてどう異なるか？
• RQ3 制限付き割り当てのLPソルバのコストを回避するため、MaxMinバランスの完全な組合せ的2近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 MaxMin割り当てのどの扱いやすいケースで、より良い近似因子が達成可能か？
• RQ5 MaxMin割り当ての定数倍近似を保つために、半整数解を効率的に計算できるか？

主な発見

• 構成LPPは、無作為グラフバランス問題において整数性ギャップ2を有するが、制限付き割り当ての場合にはギャップが33/17未満である。
• 無作為グラフバランス問題は、整数性ギャップが大きいことから、制限付き割り当てケースよりもはるかに複雑である。
• MaxMinバランスのための完全な組合せ的2近似アルゴリズムが提示され、P = NPでない限り最適である。
• アルゴリズムはO(|I|²)時間で実行され、LPに基づく手法の計算コストを回避する。
• 半整数解は多項式時間で計算可能であり、目的値が最適整数解の少なくとも半分以上になる。
• 大きなジョブが定数個である場合、またはすべてのマシンのうちO(log n)台を除いて大きなジョブの割り当てが既知である場合、2近似が達成可能である。