[論文レビュー] On the Configuration Spaces of Homogeneous Loop Quantum Cosmology and Loop Quantum Gravity

Johannes Brunnemann, Christian Fleischhack|ArXiv.org|Sep 11, 2007

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、均一かつ等方的ループ量子 cosmology (LQC) の配置空間が、LQC における非直線的経路に沿った平行移動が宇宙論的パラメータ $c$ においてほとんど周期的でないため、ループ量子重力 (LQG) の配置空間に連続的に埋め込めないことを示している。この結果は、等方的および非等方的両ケースに成立し、背景計量に依存する直線的経路のみが、必要なほとんど周期性をもたらすことを示している。

ABSTRACT

The set of homogeneous isotropic connections, as used in loop quantum cosmology, forms a line $l$ in the space of all connections $\cal A$. This embedding, however, does not continuously extend to an embedding of the configuration space $\overline l$ of homogeneous isotropic loop quantum cosmology into that of loop quantum gravity, $\overline{\cal A}$. This follows from the fact that the parallel transports for general, non-straight paths in the base manifold do not depend almost periodically on $l$. Analogous results are given for the anisotropic case.

研究の動機と目的

• ループ量子 cosmology (LQC) の配置空間が、ループ量子重力 (LQG) のそれへ連続的に埋め込めるかどうかを調査すること。
• LQC における平行移動が宇宙論的パラメータ $c$ においてほとんど周期的となる条件を特定すること。
• LQC が LQG の対称性を縮約したモデルとして構築される際に、背景依存的構造（例えば直線的経路）が果たす役割を明確にすること。
• 等方的から非等方的宇宙論的モデルへその分析を拡張すること。

提案手法

• $\mathbb{R}^3$ 内の任意の解析的曲線に沿った $SU(2)$-値接続に対する平行移動行列の2階常微分方程式を導出すること。
• ODE に対して一般化されたエネルギー保存量 $\mathcal{E}$ を導入し、一般には $\mathcal{O}(1/c)$ の誤差で保存されるが、ほとんど周期的である場合にのみ完全に保存されることを示すこと。
• 解析性および $\mathcal{E}$ の完全な不変性を用いて、平行移動のほとんど周期性が曲線が直線であることを示すこと。
• 平行移動が宇宙論的パラメータ $c$ に依存する様子を分析し、非直線的経路がほとんど周期性を破ることを証明すること。
• ほとんど周期関数の理論を用いて、ほとんど周期的でない関数は $\mathbb{R}$ からそのボーリングコンパクト化 $\overline{\mathbb{R}}_{\mathrm{Bohr}}$ へ連続的に拡張できないことを示すこと。
• 非等方的ケースに一般化するため、$\mathbb{R}^3$-値パラメータを考察し、同様の障害が成立することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 均一かつ等方的 LQC の配置空間は、LQG の配置空間に連続的に埋め込めるか？
• RQ2 LQC における非直線的経路に沿った平行移動は、宇宙論的パラメータ $c$ においてほとんど周期的か？
• RQ3 平行移動が $c$ においてほとんど周期的となるために必要な経路の幾何的条件は何か？
• RQ4 埋め込みの失敗は非等方的ケースにも継続するか？ もしそうなら、その理由は何か？
• RQ5 ボーリングコンパクト化が配置空間を連続的に拡張するために、ほとんど周期性の要件は本質的か？

主な発見

• 非直線的解析的曲線に沿った $\mathbb{R}^3$ 内の平行移動は、滑らかで解析的であっても、宇宙論的パラメータ $c$ においてほとんど周期的でない。
• 一般の曲線では一般化されたエネルギー保存量 $\mathcal{E}$ は $\mathcal{O}(1/c)$ の誤差で保存されるが、直線の場合は完全に保存される。
• 平行移動のほとんど周期性は、$\mathcal{E}$ の解析性および不変性を用いて、曲線が直線でなければならないことを示している。
• 等方的 LQC における埋め込み $\mathbb{R} \to \mathcal{A}$ は、$\overline{\mathbb{R}}_{\mathrm{Bohr}} \to \overline{\mathcal{A}}$ へ連続的に拡張できない。これは平行移動がほとんど周期的でないためである。
• 非等方的ケースにおいても同様の障害が成立する：埋め込み $\mathbb{R}^3 \to \mathcal{A}$ は $\overline{\mathbb{R}}^3_{\mathrm{Bohr}} \to \overline{\mathcal{A}}$ へ連続的に拡張できない。
• 連続的拡張の失敗は、非直線的経路における平行移動のほとんど周期性の欠如に起因する。これはボーリングコンパクト化が機能するための必須条件である。