[論文レビュー] On the congruence subgroup property for GGS-groups

Gustavo A. Fernández‐Alcober, Alejandra Garrido+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 14被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、非定数の定義ベクトルを持つすべての GGS 群が合同部分群性質を満たすことを確立し、有限生成で、余り有限で、ねじれを含まない群のプロフィニート完備化がプロ-p 群であるような新しい例を提供する—これは Barnea の問いに答えている。一方、定数の定義ベクトルを持つ GGS 群は無限大の合同部分群核を持ち、分岐群でもなく、定義ベクトルの特定の条件下ではその導来部分群はねじれ自由である。

ABSTRACT

We show that all GGS-groups with non-constant defining vector satisfy the congruence subgroup property. This provides, for every odd prime $p$, many examples of finitely generated, residually finite, non-torsion groups whose profinite completion is a pro-$p$ group, and among them we find torsion-free groups. This answers a question of Barnea. On the other hand, we prove that the GGS-group with constant defining vector has an infinite congruence kernel and is not a branch group.

研究の動機と目的

• 非定数の定義ベクトルを持つ GGS 群が合同部分群性質を満たすかどうかを特定すること。
• 定数の定義ベクトルを持つ GGS 群の合同部分群核および群論的構造を分析すること。
• Barnea が提起した、無限大で、有限生成で、余り有限で、ねじれを含まない群のプロフィニート完備化がプロ-p 群であるような群の存在に関する問いに答え、このような群がねじれ自由である可能性があるかどうかを特定すること。
• GGS 群の導来部分群がねじれ自由となるような定義ベクトルの条件を同定すること。

提案手法

• 非定数 GGS 群の合同部分群性質を確立するために、Bartholdi と Grigorchuk が提示した正則分岐群の一般基準を適用すること。
• 安定化子とレベル成分の構造を分析するために、同型写像 ψn: stG(n) → Aut T × pn を使用すること。
• ワイエルシュトローム積構造における成分解析を通じて、導来部分群のねじれ自由性を保証する Fp^{p-1} 内のベクトルに対する性質 TF を定義すること。
• 生成子 a とその共轭 bi = b^ai の作用を分析し、stG(1) に属する h に対して ψ(h) の成分の積にかかる条件を導出すること。
• 定義ベクトルに関連する巡回行列 C を用いて、成分インデックス (m1,…,mp) を計算し、性質 TF を検証すること。
• 合同部分群性質が有限指数部分群に対して遺伝的であるという事実を用いて、ねじれ自由性問題を導来部分群に還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定数の定義ベクトルを持つすべての GGS 群が合同部分群性質を満たすか？
• RQ2 定数の定義ベクトルを持つ GGS 群は無限大の合同部分群核を持つか？
• RQ3 定数の定義ベクトルを持つ GGS 群は分岐群か？
• RQ4 無限大で、有限生成で、余り有限で、ねじれを含まない群のプロフィニート完備化がプロ-p 群であるような群が存在しうるか？
• RQ5 定義ベクトルにどのような条件下で、GGS 群の導来部分群がねじれ自由になるか？

主な発見

• 非定数の定義ベクトルを持つすべての GGS 群は、正則分岐群の一般基準を用いて証明された合同部分群性質を満たす。
• 定数の定義ベクトル (e = (1,…,1)) を持つ GGS 群は無限大の合同部分群核を持ち、そのプロフィニート完備化が合同完備化と異なることを示唆する。
• 同じ GGS 群は、弱く分岐であるにもかかわらず、分岐群ではない。これはその自己相似性に関する構造的問いに答えている。
• 定義ベクトル e = (1,…,1,λ) かつ λ ≠ 1,2 の場合、導来部分群 G′ はねじれ自由であり、Barnea の第二の問いに肯定的に答えている。
• λ ≠ 1,2 のとき、導来部分群 G′ は無限大で、有限生成で、余り有限であり、プロ-p プロフィニート完備化を持つ。
• Fp^{p-1} 内のベクトル e が性質 TF を満たすとは、すべての和が 0 である非ゼロ (i1,…,ip) ∈ Fp^p に対して、ある j が存在して mjij ≠ 0 となることである。ここで (m1,…,mp) = (i1,…,ip)C である。e が TF を満たすならば、G′ はねじれ自由である。