[論文レビュー] On the Conjecture on APN Functions

Moisés Delgado, Heeralal Janwa|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、$ h(x) $ が緩い条件を満たす奇数次多項式であるとき、$ f(x) = x^{2^k+1} + h(x) $ の形をしたすべての関数が、$ \mathbb{F}_{2^n} $ 上で例外的でないAPN関数であることを証明する。代数幾何学的手法と関連する曲面 $ \phi(x,y,z) $ の既約性基準を用いて、著者たちは先行研究を拡張し、唯一GoldとKasamiの単項式が例外的APN関数であるという予想に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

An almost perfect nonlinear (APN) function (necessarily a polynomial function) on a finite field $\mathbb{F}$ is called exceptional APN, if it is also APN on infinitely many extensions of $\mathbb{F}$. In this article we consider the most studied case of $\mathbb{F}=\mathbb{F}_{2^n}$. A conjecture of Janwa-Wilson and McGuire-Janwa-Wilson (1993/1996), settled in 2011, was that the only exceptional monomial APN functions are the monomials $x^n$, where $n=2^i+1$ or $n={2^{2i}-2^i+1}$ (the Gold or the Kasami exponents respectively). A subsequent conjecture states that any exceptional APN function is one of the monomials just described. One of our result is that all functions of the form $f(x)=x^{2^k+1}+h(x)$ (for any odd degree $h(x)$, with a mild condition in few cases), are not exceptional APN, extending substantially several recent results towards the resolution of the stated conjecture.

研究の動機と目的

• 長年の予想である、$ \mathbb{F}_{2^n} $ 上で唯一GoldとKasamiの単項式が例外的APN関数であるという予想を解決すること。
• 特定の多項式関数のクラスが例外的でないAPNであることを示す先行研究を拡張し、関連する代数的曲面の既約性を分析することによって、その結果を拡張すること。
• 関数 $ f(x) = x^{2^k+1} + h(x) $ が奇数次である $ h(x) $ を含んでも例外的でないAPNでない条件を一般化すること。
• 関数 $ \phi(x,y,z) = \frac{f(x)+f(y)+f(z)+f(x+y+z)}{(x+y)(x+z)(y+z)} $ を用いた枠組みを提供し、絶対的既約性を用いて非例外的APN行動を同定すること。

提案手法

• 関数 $ f(x) = x^{2^k+1} + h(x) $ を定義し、$ h(x) $ を次数 $ d < 2^k + 1 $ の奇数次多項式とする。その後、関連する対称的曲面 $ \phi(x,y,z) $ を分析する。
• Lang-WeilおよびGhorpade-Lachaudによる有理点に関する境界を用いて、$ \phi(x,y,z) $ が絶対的既約であれば、$ f $ は例外的でないAPNであるという特徴付けを用いる。
• 補題2を用いて、平面 $ y = z $ 上での $ \phi $ の振る舞いを分析し、問題を1変数多項式の整除条件に還元する。
• 背理法による既約性の確立：$ \phi = PQ $ を仮定し、次数の整合性から方程式を導出し、$ x+y $ が $ \phi_d(x,y) $ を割り切ることを示す。これは既知の因数分解性質と矛盾する。
• $ \gcd(\phi_{2^k+1}, \phi_d) = 1 $ である条件を用いて、共通因数が存在しないことを保証し、これが既約性に不可欠であることを示す。
• 既知の結果を活用し、$ d < 100 $、$ d \not\equiv 2^i+1, 2^{2i}-2^i+1 \pmod{2^n} $ の場合に $ \phi_d $ が既約であることを確認し、その結果として互いに素である条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ h(x) $ が奇数次であるとき、$ f(x) = x^{2^k+1} + h(x) $ の形をしたすべての関数が非例外的APN関数であるか？
• RQ2 $ h(x) $ にどのような条件を課すと、曲面 $ \phi(x,y,z) $ が絶対的既約となり、非例外的APN行動が示唆されるか？
• RQ3 GoldとKasamiの単項式のみが例外的APN関数であるという予想を、奇数次多項式による摂動を含む形に拡張できるか？
• RQ4 $ \phi_{2^k+1} $ と $ \phi_d $ の互いに素性が、$ \phi(x,y,z) $ の既約性にどのように影響するか？
• RQ5 平面 $ y = z $ は、1変数への還元によって $ \phi(x,y,z) $ の因数分解を検出するために果たす役割は何か？

主な発見

• 次数が奇数である任意の $ h(x) $ を持つ $ f(x) = x^{65} + h(x) $ は、すべて非例外的APN関数であり、これにより先行する分類が拡張された。
• 関数 $ f(x) = x^{2^k+1} + h(x) $ に対して、$ \gcd(\phi_{2^k+1}, \phi_d) = 1 $ かつ $ d \equiv 1 \pmod{4} $ のとき、曲面 $ \phi(x,y,z) $ は絶対的既約であり、非例外的APN行動を示唆する。
• 証明手法により、$ \phi $ が因数分解可能であれば、$ x+y $ が $ \phi_d(x,y) $ を割り切ることを示し、これは $ \phi_d $ が既約または重複線形因数を持たない場合に既知の因数分解性質と矛盾する。
• $ \gcd(\phi_{2^k+1}, \phi_d) = 1 $ は既約性にとって不可欠であり、$ \phi_d $ が絶対的既約である場合にも多くの場合に満たされる。
• Aubry, McGuire, Rodierらの先行定理を一般化し、単項式を超える広範な関数クラスをカバーする。
• 本研究は、GoldとKasamiの単項式のみが例外的APN関数であるという予想に対する強い証拠を提供し、摂動関数の一族をすべて除外する。