[論文レビュー] On the Connectedness of Moduli Spaces of Flat Connections over Compact Surfaces

Nan-Kuo Ho, Chiu-Chu Melissa Liu|ArXiv.org|Nov 25, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、コンパクトな曲面上の平坦G接続のモジュライ空間の連結性を確立し、単連結なコンパクトなリー群のクラス（半単純および特定の非半単純群を含む）に対して、可定向な曲面ではモジュライ空間が連結であり、非可定向な曲面でk個の実射影平面の連結和に同相である場合、$2^{\dim S}$個の連結成分を持つことを証明する。ここで$k \neq 1,2,4$である。この結果は、単連結群に対する既知の定理を拡張し、コンパクトなリー群における交換子写像の上への性質と纤维の連結性に依存している。

ABSTRACT

We study the connectedness of the moduli space of gauge equivalence classes of flat G-connections on a compact orientable surface or a compact nonorientable surface for a class of compact connected Lie groups. This class includes all the compact, connected, simply connected Lie groups, and some non-semisimple classical groups including U(n) and Spin^C(n).

研究の動機と目的

• コンパクトな曲面$\Sigma$上の平坦$G$-接続のゲージ同値類のモジュライ空間$\mathcal{M}(\Sigma,G)$の連結性を特定すること。
• 単連結なコンパクトなリー群に対する既知の連結性の結果を、半単純でないものを含むより広いクラスのコンパクトな連結リー群に拡張すること。
• 特に$k$個の$\mathbb{RP}^2$の連結和に同相な非可定向な曲面に対する$\mathcal{M}(\Sigma,G)$の構造を分析すること。
• 群$G$の中心の単位成分の次元に基づいて、連結成分の正確な数を特定すること。

提案手法

• 群$G$が共役作用で作用する$\mathcal{M}(\Sigma,G) \cong \mathrm{Hom}(\pi_1(\Sigma), G)/G$という同型を用いる。
• コンパクトで連結なリー群の構造定理を適用：$G = G_{ss} \times S$、ここで$G_{ss}$は半単純かつ simply connected であり、$S$は中心の単位成分である。
• 事実5の利用：単連結な$G$に対して、交換子写像$\mu_G^\ell: G^{2\ell} \to G$は上への写像であり、その纤维は連結である。
• 基本群の関係における中心$S$の作用と交換子写像の像を介してモジュライ空間を分析する。
• $G^{2\ell+2}$におけるパスの持ち上げと連結性の議論を用い、各成分におけるモーメント写像の逆像が連結であることを示す。
• 連結成分を分類するための商写像$o: \mathcal{M}(\Sigma,G) \to K$（ここで$K \cong S/2S$）を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのコンパクトで連結なリー群$G$に対して、コンパクトな可定向曲面$\Sigma$上での平坦$G$-接続のモジュライ空間$\mathcal{M}(\Sigma,G)$が連結であるか？
• RQ2 非可定向な曲面、特に$k$個の$\mathbb{RP}^2$の連結和に同相な$\Sigma$に対して、$\mathcal{M}(\Sigma,G)$の連結成分はいくつあるか？
• RQ3 中心$Z(G)$、特にその単位成分$S$が、$\mathcal{M}(\Sigma,G)$の連結成分の数を決定する役割を果たすか？
• RQ4 交換子写像の纤维の連結性が、非可定向な曲面におけるモジュライ空間の連結性の証明に利用可能か？
• RQ5 $G = G_{ss} \times S$（$G_{ss}$が単連結）という構造が、$\mathcal{M}(\Sigma,G)$の位相にどのように影響するか？

主な発見

• 単連結な半単純部分群$G_{ss}$をもつコンパクトで連結なリー群$G$に対して、$\Sigma$が可定向な場合、モジュライ空間$\mathcal{M}(\Sigma,G)$は空でなく連結である。
• 曲面$\Sigma$が$k$個の$\mathbb{RP}^2$の連結和に同相であり、$k \neq 1,2,4$である場合、モジュライ空間$\mathcal{M}(\Sigma,G)$は正確に$2^{\dim S}$個の連結成分を持つ。
• 連結成分の数は、$S/2S$に依存しており、ここで$S$は$G$の中心の単位成分であり、$2S = \{s^2 \mid s \in S\}$である。
• 証明は、すべての$g \in G_{ss}$に対して$({\mu_G^\ell})^{-1}(g)$が連結であるという事実に依存しており、これはアレクセエフ、マルキン、マイレンケンの結果である。
• クラインのボトルの和成分の場合（$2\ell+2$個の$\mathbb{RP}^2$）、モジュライ空間は$2^{\dim S}$個の連結成分を持ち、モーメント写像の逆像のパス連結性により証明される。
• この結果は、$U(n)$や$\mathrm{Spin}^\mathbb{C}(n)$といった群にも適用可能であり、これらは単連結な$G_{ss}$とトーラス型の中心$S$を満たす仮定を満たしている。