[論文レビュー] On the connection between affine and projective fundamental groups of line arrangements and curves

David Garber|ArXiv.org|Dec 31, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、実直線配置および一部の線分を含む可約な曲線に対して、アフィン基本群を射影基本群と ℤ のコピーの直和に分解することを確立する。バイトモノドロミーとヴァン・カンペンの定理を用いて、実直線配置に対して π₁(ℂ²−ℒ) ≅ π₁(ℂℙ²−ℒ) ⊕ ℤ を証明し、この結果を線分を含む曲線へと拡張する。これにより、より取り扱いやすい射影の場合に還元することで、アフィン基本群の計算が簡略化される。

ABSTRACT

In this note we prove a decomposition related to the affine fundamental group and the projective fundamental group of a line arrangement and a reducible curve with a line component. We give some applications to this result.

研究の動機と目的

• 直線配置および線分を含む曲線のアフィン基本群と射影基本群の間の構造的関係を確立すること。
• 中心拡大 1 → ℤ → π₁(ℂ²−C) → π₁(ℂℙ²−C) → 1 が分裂する条件を特定すること。
• アフィン基本群の計算を、より取り扱いやすい射影基本群に還元することで簡略化すること。
• インシデントラティスが実直線配置の基本群をどの程度決定するかを、分解結果を活用して調査すること。

提案手法

• 基本群の計算にバイトモノドロミー技術とモイシェゾン＝ティーチャーのアルゴリズムを適用する。
• ヴァン・カンペンの定理を用いて、アフィンおよび射影的補集合の群提示を導出する。
• 複数点における Δ-作用を用いて、横断的線分を無限遠に移動させても基本群が変わらないという事実を用いた還元論法を採用する。
• 交点に対してリーマン対を構成し、基本群の提示における関係を導出する。
• すべての生成元の積が恒等元に等しいという射影関係を用いて、アフィン群と射影群を関連付ける。
• 線分を含む曲線に対して一般化されたヴァン・カンペン論法を適用し、線分が残りの部分と横断的に交わる場合に分解が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心拡大 1 → ℤ → π₁(ℂ²−C) → π₁(ℂℙ²−C) → 1 が分裂する条件は何か？
• RQ2 実直線配置 ℒ に対して π₁(ℂ²−ℒ) は π₁(ℂℙ²−ℒ) ⊕ ℤ に分解されるか？
• RQ3 線分を含む曲線のアフィン基本群は、射影基本群と ℤ の直和として表されるか？
• RQ4 インシデントラティスが実直線配置の基本群をどの程度決定するか？

主な発見

• 任意の n 条の実直線配置 ℒ に対して、π₁(ℂ²−ℒ) ≅ π₁(ℂℙ²−ℒ) ⊕ ℤ が成り立ち、これは任意の直線配置へと一般化される。
• L が C′ と横断的に交わる曲線 C = C′ ∪ L に対して、π₁(ℂ²−C) ≅ π₁(ℂℙ²−C) ⊕ ℤ が成り立つ。
• この分解により、アフィン基本群が射影基本群から計算可能となり、生成元の積が制約を受けるという射影関係のおかげで、より単純になる。
• 8本以下の直線を含む実直線配置では、分解結果を用いることでインシデントラティスがアフィンおよび射影基本群を決定することが示された。
• 高重複度特異点からなる森（フォレスト）を持つ配置 Σ に対して、π₁(ℂℙ²−Σ) ≅ ℤ^r ⊕ F^{m(a₁)−1} ⊕ ⋯ ⊕ F^{m(ak)−1} であり、アフィン群は ℤ^{r+1} ⊕ F^{m(a₁)−1} ⊕ ⋯ ⊕ F^{m(ak)−1} に等しい。
• この結果により、実配置における基本群の比較が簡略化され、アフィン群に比べて計算が容易な射影群を用いた比較が可能になる。